微積分學中,多元微積分 (也稱為多變量微積分Multivariable calculusmultivariate calculus)是由多個變量組成的微積分。相較於只有一個變量的單變量微積分,多變量微積分在函數的求導和積分等運算中含有不少於兩個變量。

典型運算

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極限與連續

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在多變量微積分領域,對函數極限函數連續性的研究可導致許多「反直覺」的結果。例如,一些含有兩個變量的純量函數 ),當x,y沿不同路徑(例如直線與拋物線)趨近於極限點時,函數的值不同。例如,函數

 

沿任何直線   趨近於原點   時,f趨近於0。然而,當變量x,y沿拋物線   趨近於原點時,f趨近於0.5。由於沿不同路逕取極限時函數值不同,故該函數在原點的極限不存在。

每一個變量的連續不是多元函數連續的充分條件: 例如, 含有兩個變量的實數函數  ,對於每一個固定的    關於   的函數在其定義域內連續。同樣的,對於每一個固定的    關於   的函數在其定義域也內連續,但這不能說明原函數連續。

作為一個例子,考慮函數
 

很容易驗證,在實數域中,定義函數:  ,則對於每一個固定的     上連續。同理,函數  也是關於   的連續函數。然而,函數   在原點是不連續的。 考慮序列   (  自然數),若在原點連續其結果應為   。然而,通過計算知其在原點的極限為  。 因此,   在原點不連續。

偏導數

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偏導數將導數的概念推廣到更高維度。一個多變量函數的偏導數是一個相對於一個變量的導數,所有其他變量視作常數,保持不變。

偏導數可被結合從而創造出複雜形式的導數。在向量分析中,Nabla算子( )依據偏導數被用於定義這些概念:梯度散度旋度。在含有偏導數的矩陣中,雅可比矩陣可以用來表示任意維度的空間之間的函數的導數。 導數可因此理解為從一個域到另一個域的線性映射

含有偏導數的微分方程被稱為偏微分方程PDEs。這些方程較只含有一個變量的常微分方程更難被解出。

重積分

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重積分將積分的概念拓展至任意數量的變量。二重積分和三重積分可用於計算平面和空間中區域的面積和體積。富比尼定理給出了使用逐次積分的方法計算二重積分的條件。

曲面積分曲線積分可用於計算流形,例如曲面曲線

多變量微積分基本定理

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在單變量微積分中,微積分基本定理建立了導數與積分的聯繫。 多變量微積分中導數與積分之間的聯繫,體現為向量微積分的積分定理:

在對多變量微積分更深層次的研究中,可以認為以上四條定理是一個更一般的定理的具體表現,即廣義斯托克斯定理

應用

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定義域/值域 適用
曲線     曲線長度,曲線積分,曲線曲率.
曲面     表面積,曲面積分,通量,曲面曲率.
純量場     極大值和極小值,拉格朗日乘數,方向導數.
向量場     有關向量分析的運算,包括梯度,散度,旋度.

參見

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外部連結

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