二次函數

在數學中，二次函數（英語：quadratic function）表示形為 $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$（$a\neq 0\,\!$，且$a$、$b$、$c$是常數）的多項式函數，其中，$x$為自變數，$a$、$b$、$c$分別是函數解析式的二次項係數、一次項係數和常數項。二次函數的圖像是一條主軸平行於$y$軸的拋物線。

解析式：$f(x)=x^{2}-x-2\,\!$

二次函數表達式$ax^{2}+bx+c$的定義是一個二次多項式，因為$x$的最高冪次是2。

如果令二次函數的值等於零，則可得一個一元二次方程式、二次方程式。該方程式的解稱為方程式的根或函數的零點。

歷史

大約在公元前480年，古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程式的正根，但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程式。

7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程式的人，它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯的花拉子米獨立地發展了一套公式以求方程式的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum，首次將完整的一元二次方程式解法傳入歐洲。

根

更多資訊：二次方程式和韋達定理

二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0\,\!$ 的兩個根為：

$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$

解方程式後，我們會得到兩個根：$x_{1}$和$x_{2}$。則點$(x_{1},0)$和$(x_{2},0)$就是二次函數與$x$軸的交點。根的類型如下：

• 設$\Delta =b^{2}-4ac\,$為一元二次方程式的判別式，又記作D。
• 當$\Delta >0\,\!$，則方程式有兩個不相等的根，也即與$x$軸有兩個不重疊的交點，因為${\sqrt {\Delta }}$是正數。
• 當$\Delta =0\,\!$，則方程式有兩個相等的根，也即與$x$軸有一個切點，因為${\sqrt {\Delta }}$是零。
• 當$\Delta <0\,\!$，則方程式沒有實數根，也即與 $x$ 軸沒有交點，因為${\sqrt {\Delta }}$是共軛複數。

設$r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$和$r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$，我們可以把$ax^{2}+bx+c\,\!$因式分解為$a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$。

二次函數的形式

二次函數可以表示成以下三種形式：

• $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ 稱為一般形式或多項式形式。
• $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ 稱為因子形式或交點式，其中$r_{1}$和$r_{2}$是二次方程式的兩個根，$(r_{1},0)$,$(r_{2},0)$ 是拋物線與$x$軸的兩個交點。
• $f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ 稱為標準形式或頂點形式，$(h,k)$即為此二次函數的頂點。

把一般形式轉換成因子形式時，我們需要用求根公式來算出兩個根$r_{1}$和$r_{2}$，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式轉換成標準形式時，我們需要用配方法。把因子形式轉換成一般形式時，我們需要把兩個因式相乘並展開。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

$h$代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為$h$

• $k$展開後比較後可得 $k=-a\left({\frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}$

不通過$r_{1}$和$r_{2}$求$k$及$h$公式：

• $h=-{\frac {b}{2a}}$
• $k=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$ (也作$k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$)

而在三種形式中皆出現的$a$為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

圖像

$f(x)=ax^{2},\!$$a=\{0.1,0.3,1,3\}\!$

$f(x)=x^{2}+bx,\!$ $b=\{1,2,3,4\}\!$

$f(x)=x^{2}+bx,\!$ $b=\{-1,-2,-3,-4\}\!$

• 係數$a$控制了二次函數從頂點的增長（或下降）速度，即二次函數開口方向和大小。$|a|$越大，開口越小，函數就增長得越快。
• 係數$b$和$a$控制了拋物線的對稱軸（以及頂點的$x$坐標）。
• 係數$b$控制了拋物線穿過$y$軸時的傾斜度（導數）。
• 係數$c$控制了拋物線最低點或最高點的高度，它是拋物線與$y$軸的交點。

函數	圖像			函數變化	對稱軸	開口方向	最大（小）值
$y=ax^{2}$	$a>0$			當$x>0$時，$y$隨$x$的增大而增大； 當$x<0$時，$y$隨$x$ 的減小而增大	$y$軸 或$x=0$	向上	$0$
$y=ax^{2}$	$a<0$			當$x>0$時，$y$隨$x$ 的增大而減小； 當$x<0$時，$y$隨$x$ 的減小而減小	$y$軸 或$x=0$	向下	$0$
$y=ax^{2}+c$	$a>0$			當$x>0$時，$y$隨$x$ 的增大而增大； 當$x<0$時，$y$隨$x$ 的減小而增大	$y$軸 或$x=0$	向上	$c$
$y=ax^{2}+c$	$a<0$			當$x>0$時，$y$隨$x$的增大而減小； 當$x<0$時，$y$隨$x$ 的減小而減小	$y$ 軸 或 $x=0$	向下	$c$
$y=ax^{2}+bx+c$	$a>0$			當$x>-{\frac {b}{2a}}$時，$y$ 隨$x$的增大而增大； 當$x<-{\frac {b}{2a}}$時，$y$隨$x$的減小而增大	$x=-{\frac {b}{2a}}$	向上	$-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$
$y=ax^{2}+bx+c$	$a<0$			當$x>-{\frac {b}{2a}}$時，$y$ 隨$x$的增大而減小； 當$x<-{\frac {b}{2a}}$時，$y$隨$x$的減小而減小	$x=-{\frac {b}{2a}}$	向下	$-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$

x 截距

當函數與$x$軸有兩個交點時，設這兩個交點分別為 $A(x_{1},0),\,B(x_{2},0)$，由根與係數的關係得出：$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$和$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

${\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}$

頂點

拋物線的頂點是它轉彎的地方，也稱為駐點。如果二次函數是標準形式，則頂點為$(h,k)\,\!$。用配方法，可以把一般形式$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$化為：

$$f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$$

因此在一般形式中，拋物線的頂點是：

$$\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$$

如果二次函數是因子形式$f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$，則兩個根的平均數

$${\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!$$

就是頂點的$x$坐標，因此頂點位於

$$\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!$$

$a<0\,\!$時，頂點也是最大值；$a>0\,\!$時，則是最小值。

經過頂點的豎直線

$$x=h=-{\frac {b}{2a}}$$

又稱為拋物線的對稱軸。

最大值和最小值

導數法

函數的最大值和最小值總是在駐點（又稱臨界點，穩定點）取得。以下的方法是用導數法來推導相同的事實，這種方法的好處是適用於更一般的函數。

設有函數$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$，尋找它的極值時，我們必須先求出它的導數：

$$f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!$$

然後，求出$f'(x)\,\!$的根：

$$2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}$$

因此，$-{\frac {b}{2a}}$是$f(x)\,\!$的$x\,\!$值。現在，為了求出$y\,\!$，我們把$x=-{\frac {b}{2a}}$代入 $f(x)\,\!$：

$$y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}$$

所以，最大值或最小值的坐標為：

$$\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$$

配方法

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+c\\&=a\left[x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}\right]+c-a({\frac {b}{2a}})^{2}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\\\end{aligned}}$

由於實數的二次方皆大於等於0，因此當$x=-{\frac {b}{2a}}$時，$f(x)$有最大或最小值${\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$。

二次函數的平方根

二次函數的平方根的圖像要麼是橢圓，要麼是雙曲線。如果$a>0\,\!$，則方程式$y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$描述了一條雙曲線。該雙曲線的軸由對應的拋物線$y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$的最小值決定。如果最小值是負數，則雙曲線的軸是水平的。如果是正數，則雙曲線的軸是豎直的。如果$a<0\,\!$，則方程式$y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$的圖像要麼是一個橢圓，要麼什麼也沒有。如果對應的拋物線$y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$的最大值是正數，則它的平方根描述了一個橢圓。如果是負數，則描述了一個空集。

二元二次函數

二元二次函數是以下形式的二次多項式：

$$f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!$$

這個函數描述了一個二次曲面。把$f(x,y)\,\!$設為零，則描述了曲面與平面$z=0\,\!$的交線，它是一條圓錐曲線。

最小值/最大值

如果$4AB-E^{2}<0\,$，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是雙曲拋物面。

如果 $4AB-E^{2}>0\,$，則當$A>0$時函數具有最小值，當$A<0$具有最大值。其圖像是橢圓拋物面。

二元二次函數的最大值或最小值在點 $(x_{m},y_{m})\,$ 取得，其中：

$$x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}$$

$$y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}$$

如果$4AB-E^{2}=0\,$且$DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是拋物柱面。

如果$4AB-E^{2}=0\,$且$DE-2CB=2AD-CE=0\,$，則函數在一條直線上取得最大值/最小值。當$A>0$時取得最大值，$A<0$時取得最小值。其圖像也是拋物柱面。

參考資料

參考書目

• 《代數1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
• 《代數2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X

參見

• 拋物線

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Quadratic. MathWorld.