二次方程式

二次方程式是一種整式方程式，主要特點是未知項的最高次數是2，其中最常見的是一元二次方程式。

一元二次方程式

方程式的一般形式

一元二次方程式是指只含有一個未知數的二次方程式，它的一般形式為：$ax^{2}+bx+c=0\,$，其中 $a\neq 0$。$ax^{2}\,$為方程式的二次項，$a\,$為方程式的二次項係數；$bx\,$為一次項，$b\,$為一次項係數；$c\,$為常數項。若$a=0\,$，則該方程式沒有二次項，即退變為一元一次方程式。

求根公式

■$y={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x-{\frac {4}{3}}\,$
■$y=-{\frac {4}{3}}x^{2}+{\frac {4}{3}}x+{\frac {1}{3}}\,$
■$y=x^{2}+{\frac {1}{2}}\,$

一元二次方程式根的判別式為$\Delta =b^{2}-4ac\,$。

若$\Delta >0\,$，則該方程式有兩個不相等的實數根： $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$；

若$\Delta =0\,$，則該方程式有兩個相等的實數根： $x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\,$；

若$\Delta <0\,$，則該方程式有一對共軛複數根： $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}\,$。

由上可知，在實數範圍內求解一元二次方程式，當$\Delta \geq 0\,$時，方程式纔有根（有兩個不等實數根或兩個相等實數根）；當$\Delta <0\,$時，方程式有兩個複數根，但是在實數範圍無解。

根與係數的關係

更多資訊：韋達定理

設$x_{1}\,$，$x_{2}\,$是一元二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0\,$ （$a\neq 0\,$ ）的兩根，則

兩根之和：$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

兩根之積：$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

• 一元二次方程式
• 二元二次方程式
• 高元二次方程式

求根公式的由來

中亞細亞的花拉子米 (約780-約850) 在公元820年左右出版了《代數學》。書中給出了一元二次方程式的求根公式，並把方程式的未知數叫做「根」，其後譯成拉丁文radix。

我們通常把 $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 稱之為 $ax^{2}+bx+c=0\,$ 的求根公式：

$${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}$$

或不將$x^{2}$係數化為1：

$${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c}}\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}\\x&=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}$$

對應函數的極值

設 $y=ax^{2}+bx+c\,$（$a\neq 0\,$），
對$x\,$求導，得

${\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=2ax+b$

令 ${\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=0$，得

${\begin{aligned}x&=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}$

即為 $y\,$的極值點，該式亦為函數圖形（即拋物線）的對稱軸方程式。 將 $x=-{\frac {b}{2a}}$ 代入 $y\,$，可得

${\begin{aligned}y&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}$

即為 $y\,$ 的極值。

根據函數取極值的充分條件，即：
$f''(x)<0\,$，$x\,$是$f(x)\,$ 的極大值點，
$f''(x)>0\,$，$x\,$是$f(x)\,$ 的極小值點；
由${\frac {\mathop {\mbox{d}} ^{2}y}{\mathop {\mbox{d}} x^{2}}}=2a$，可知：
當$a<0\,$時（拋物線開口向下），$x=-{\frac {b}{2a}}$為$y\,$的極大值點；
當$a>0\,$時（拋物線開口向上），$x=-{\frac {b}{2a}}$為$y\,$的極小值點。

參見

• 一次方程式
• 拋物綫
• 配方法
• 圓錐曲線