一致估计量

統計學名詞

统计学中,一致估计量(Consistent Estimater)、渐进一致估计量,亦称相合估计量相容估计量。其所表征的一致性或(相合性)同渐进正态性是大样本估计中两大最重要的性质。随着样本量无限增加,估计误差在一定意义下可以任意地小。也即估计量的分布越来越集中在所估计的参数的真实值附近,使得估计量依概率收敛

{, , , ...}是参数的一组估计量,待估参数真值为4。随着样本量的增加该估计量序列越发集中于的真值;而同时这些估计量是有偏的。该估计量序列的极限分布将退化为一个随机变量以概率1收敛于

这里定义的一致性称弱相合性。如果将概率收敛的方式改为以概率1收敛此时称强相合性

定义编辑

 为定义在参数空间 上的一维数值函数,用 去估计它。这里 为样本, 为样本量。如果当 时,估计量 在某个意义 之下收敛于被估计的 ,则称  的一个意义 之下的相合估计。在数理统计中最常考虑的有以下三种情况:

  •  表示依概率收敛,即是 ,这时所定义的相合性称弱相合
  •  表示以概率1收敛,即是 ,这时所定义的相合性称强相合
  •  表示以 阶矩收敛( ),即是 ,这时所定义的相合性称 阶矩相合,简称矩相合

根据定义显然可知强相合与矩相合可推得弱相合,反之不成立。强相合与矩相合之间没有从属关系。

如果 是多维的,   在某意义下的相合估计,则称估计量 在该意义下相合。

因此一般性讨论中可以只考虑 为1维的情况。

性质编辑

泛函不变性编辑

设参数空间  为定义在开集 上的实值连续函数。若  的(强/弱)相合估计,则  的(强/弱)相合估计。

该定理不适用于矩相合。

由该定理和Kolmogorov强大数定律可推知矩估计为强相合估计。

存在性的充分条件编辑

设参数空间 ,独立同分布样本 其总体分布函数是k维分布函数 。若 

 

 的强相合估计存在。

存在性的一个必要条件编辑

设参数空间 ,独立同分布样本 其总体分布函数是k维分布函数 。若 的相合估计存在,且 时, 

存在性的充要条件编辑

至今没有得到回答。

参考文献编辑