一致估計量

統計學名詞

統計學中,一致估計量(Consistent Estimater)、漸進一致估計量,亦稱相合估計量相容估計量。其所表徵的一致性或(相合性)同漸進常態性是大樣本估計中兩大最重要的性質。隨著樣本量無限增加,估計誤差在一定意義下可以任意地小。也即估計量的分布越來越集中在所估計的母數的真實值附近,使得估計量依機率收斂

{, , , ...}是母數的一組估計量,待估母數真值為4。隨著樣本量的增加該估計量序列越發集中於的真值;而同時這些估計量是偏誤的。該估計量序列的極限分布將退化為一個隨機變數以機率1收斂於

這裡定義的一致性稱弱相合性。如果將機率收斂的方式改為以機率1收斂此時稱強相合性

定義

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 為定義在母數空間 上的一維數值函數,用 去估計它。這裡 為樣本, 為樣本量。如果當 時,估計量 在某個意義 之下收斂於被估計的 ,則稱  的一個意義 之下的相合估計。在數理統計中最常考慮的有以下三種情況:

  •  表示依機率收斂,即是 ,這時所定義的相合性稱弱相合
  •  表示以機率1收斂,即是 ,這時所定義的相合性稱強相合
  •  表示以 階動差收斂( ),即是 ,這時所定義的相合性稱 階動差相合,簡稱動差相合

根據定義顯然可知強相合與動差相合可推得弱相合,反之不成立。強相合與動差相合之間沒有從屬關係。

如果 是多維的,   在某意義下的相合估計,則稱估計量 在該意義下相合。

因此一般性討論中可以只考慮 為1維的情況。

性質

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泛函不變性

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設母數空間  為定義在開集 上的實值連續函數。若  的(強/弱)相合估計,則  的(強/弱)相合估計。

該定理不適用於動差相合。

由該定理和Kolmogorov強大數法則可推知動差估計為強相合估計。

存在性的充分條件

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設母數空間 ,獨立同分布樣本 其母體分布函數是k維分布函數 。若 

 

 的強相合估計存在。

存在性的一個必要條件

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設母數空間 ,獨立同分布樣本 其母體分布函數是k維分布函數 。若 的相合估計存在,且 時, 

存在性的充要條件

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至今沒有得到回答。

參考文獻

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