不可數集

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不可數集(英語:uncountable set)是無窮集合中的一種。一個無窮集合和自然數集之間要是不存在一個双射,那麼它就是一個不可數集。集合的不可数性与它的基数密切相关:如果一个集合的基数大于自然数的基数,那么它就是不可数的。

定義编辑

不可数集有许多等价的定義。一个集合 是不可数集,当且仅当以下任何一个条件成立:

  • 不存在从 到自然数集合的单射函数
  •  的基数既不是有限的,又不等于 阿列夫-0,自然数集合的基数)。
  •  的基数严格大于 

性质编辑

  • 如果不可数集 是集合 的子集,则 是不可数集。

例子编辑

不可数集的最广为人知的例子,是所有实数的集合 对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的,例如所有自然数的无穷序列的集合(甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合),以及自然数集合的所有子集所组成的集合。 的基数通常记为  ,或 

康托尔集 的一个不可数子集。它是一个分形,其豪斯多夫维大于零,但小于一( 的维数是一)。这是以下事实的一个例子:如果 的某個子集有严格大于零的豪斯多夫维,那麼它一定是不可数的(反過來不成立,劉維爾集合的豪斯多夫維是0,但是不可數)。

另外一个不可数集的例子,是所有从  的函数的集合。这个集合比 更“不可数”(意思是說,不存在從R映射到該集合的蓋射函數),因为它的基数是 ,它比 还要大。

一个更加抽象的例子,是所有可数序数的集合,记为   的基数记为 。利用选择公理,可以证明 是最小的不可数基数。于是,实数的基数 ,要么等于 ,要么严格比它大。康托尔是第一个提出 是否等于 的问题的人。在1900年,希尔伯特把这个问题作为他的23个问题之一。 的陈述现在称为连续统假设,現已知道它獨立于集合论ZF公理(包括选择公理)。(實際上, 確實等於 ,因為如果實際上不等於,那就表示存在一個基數絕對大於可數集而絕對小於實數集的集合,而只要找到了這個集合,就可以證明兩者不相等了,於是,連續統假設將是可證明的,但是現在已經知道它不可證明了,因此矛盾,所以 確實等於 ,所以這個猜想不可能會是哥德爾不完備定理的例子,同樣的證明還能用在任何「可以用反例來推翻的猜想」上,例如費馬最後定理哥德巴赫猜想四色定理黎曼假設廣義黎曼假設(注意:孿生質數猜想ABC猜想並不是這樣的猜想))

参见编辑

参考文献编辑

外部链接编辑