中線或重線是三角形中从某邊的中點連向對角的頂點的线段。三角形的三条中线总是相交于同一点,这个点称为三角形的重心。
任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中線都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外,任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。
考虑三角形ABC。设D为AB¯{\displaystyle {\overline {AB}}} 的中点,E为BC¯{\displaystyle {\overline {BC}}} 的中点,F为AC¯{\displaystyle {\overline {AC}}} 的中点,O为重心。
根据定义,AD=DB,AF=FC,BE=EC{\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC} ,因此[ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]{\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]} ,其中[ABC]{\displaystyle [ABC]} 表示三角形ABC的面积。
我们有:
因此,[ABO]=[ACO]{\displaystyle [ABO]=[ACO]} 且[ADO]=[DBO],[ADO]=12[ABO]{\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]} 。
由于[AFO]=[FCO],[AFO]=12[ACO]=12[ABO]=[ADO]{\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]} ,所以[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]{\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]} 。 同理,也可以证明[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]{\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]} 。
在△{\displaystyle \triangle } ABC中,連接角A的中線記為ma{\displaystyle m_{a}} ,連接角B的中線記為mb{\displaystyle m_{b}} ,連接角C的中線記為mc{\displaystyle m_{c}} ,它們長度的公式為:
同理,可證得其他二式