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角平分线长公式

(重定向自角平分線長公式

數學中,角平分線長公式是已知三角形三條邊的長度時計算內角平分線長度的公式。在三角形中, 若將的角平分線記為, 且將a分為, 的角平分線記為, 且將b分為, 的角平分線記為, 且將c分為, 那麼它們長度可用如下公式計算:

公式1:

,
,
,

其中的是半周长。

公式2:

推導编辑

 
三角形ABC以及關於角B的平分線

如右圖,設   的平分線,交邊 于E,則 ,BE= 。下面證明角平分線長

  


首先, °(互為鄰補角),因此有  

根據正弦定理,在 中, ,即 。同樣地,在 中, ,也就是 。 另一方面, ,並且 ,因此得到 。 注意到 ,代入上式,消去 之後就可得到 

接下來,在 中,根據餘弦定理,有:

  ....(1)
然而  ,把 以及 的表達式代入(1)式中,得到
 

化簡之後就可以得到角平分線長公式:

 
設s為半周長, 即 ,則可以將公式寫成
 
 

同理,可證得其他兩式。

參見编辑