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在幾何學中,等腰三角形isosceles triangle)是指至少有兩等長相等三角形,因此會造成有2個角相等。相等的兩個邊稱等腰三角形的腰,另一邊稱為底邊,相等的兩個角稱為等腰三角形的底角,其餘的叫做頂角[1]

等腰三角形
Triangle.Isosceles.svg
等腰三角形
3
頂點 3
施萊夫利符號 {3} (底角和頂角相等)
內角

60° (底角和頂角相等時)

  • 底角
  • 頂角
對偶 相似等腰三角形

等腰三角形的重心、和垂心都位於頂點向底邊的垂线,可以把等腰三角形分成兩個全等的直角三角形[2]

等邊三角形是底邊和腰等長的等腰三角形,是等腰三角形的一個特殊形式。若等腰三角形的頂角為直角,稱為等腰直角三角形

命名编辑

等腰三角形在英文中稱為isosceles,來自希臘文,意思是“等長的腳”[2]

性質编辑

等腰三角形具有下列性質[1]:P.204

  • 兩底角相等
  • 頂角的角平分線、底邊的中線和高互相重合
  • 當腰長等於底邊長時,則底角和頂角為60度(即等边三角形)
邊長  

 

 
面積   
周長  

等腰三角形定理编辑

若一三角形的二邊相等,則二邊的對角相等,此定理列在歐幾里德的《幾何原本》中,稱為驢橋定理,也是等腰三角形定理。驢橋定理是在幾何原本的前面出現的較困難命題,是數學能力的一個門檻[3],無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題。

驢橋定理的逆定理是若一三角形的二角相等,則二角的對邊相等。

等腰三角形的全等编辑

若二等腰三角形,其腰相等,底邊也相等,即可以用SSS全等證明二個等腰三角形全等,而三角形的角可以用餘弦定理求得。

等腰三角形的相似编辑

等腰三角形的頂角  和底角 有以下的關係:

 

已知其中一個就可以知道另一個,若二等腰三角形的頂角相等或底角相等,即可以用AAA相似證明二個等腰三角形全等,各邊的關係可以用正弦定理求得。

對稱軸编辑

等腰三角形為軸對稱,其對稱軸和底邊的中垂線中線及頂角的角平分線重合(三线合一)[4]。等腰三角形的內心外心重心垂心及顶点所对旁心五心共線,都在對稱軸上[5]

  等腰三角形
  •   對稱軸
  •   中垂線和外心
  •   中線和重心
  •   角平分線和內心

和其他圖形的關係编辑

  • 二個底邊相等的等腰三角形可以組合成一個鷂形,此鷂形有一個對稱軸,即為二等腰三角形的高。
  • 二個全等的等腰三角形可以組合成一個菱形,此菱形有二個對稱軸,包括二等腰三角形的高,以及等腰三角形的底邊。
  • 圆锥投影圖中有一面即為等腰三角形。
  • 扇形的二半徑和扇形的弦相連,也是等腰三角形。

相關條目编辑

參考文獻编辑

  1. ^ 1.0 1.1 《中學數學實用辭典》ISBN 957-603-093-5 九章出版。
  2. ^ 2.0 2.1 《圖解數學辭典》天下遠見出版 P.37 三角形 ISBN 986-417-614-5
  3. ^ 吳任哲. 利用『驢橋定理』探討國中教師之數學教學. HPM通訊第四卷8,9期合刊. [2013-08-21]. 
  4. ^ 云南教育编辑部. 云南教育. 云南省教育厅. 1991. 
  5. ^ 何思谦. 数学辞海. 山西敎育出版社. 2002.