二次型 (统计)

多元变量统计中,如果  为 随机向量 是一个 对称矩阵,则随机变量  称为  的二次型。

期望编辑

二次型的期望可表示为,[1]

 

其中,   分别表示  期望值方差-协方差矩阵, tr 为矩阵的。其结果仅仅取决于是否存在   ;并且,  的正态性不是必要条件。

关于随机变量的二次型参考书籍 [2]

证明编辑

由于二次型是标量,所以二次型的迹就是它本身 

由于矩阵的迹是其对角线元素之和(即矩阵元素线性组合的结果),因此服从期望的线性,有

 

利用的可交换性,

 

由期望的线性可得

 

由方差的标准属性可知:

 

再次应用的可交换性可得:

 

方差编辑

通常情况下,二次型的方差在很大程度上取决于   的分布。 然而,如果   服从多元正态分布,则二次型的方差的求解非常容易。假设   是一个对称矩阵,则有,

  [3].

事实上,这可以推广到同一向量   的两个二次型的协方差计算中 (注意,    必须都是对称矩阵):

 

不对称矩阵的方差计算编辑

在某些参考资料中,在   为非对称矩阵情况下,也错误地得到了上述方差/协方差的结果。 在一般情况下,  可以通过下面方式得到:

 

因此

 

但是,这一个二次型的对称矩阵  ,所以其均值方差表达式相同,只是将   替换为  

二次型举例编辑

设有观测值的集合   和运算矩阵  ,则  残差平方和可表示为其二次型:

 

其中,矩阵   为对称等幂的,其误差为协方差矩阵为  高斯分布,   为自由度是  卡方分布,参数为  ,有

 
 

如果   在估计   时没有偏差,则参数   为零且   服从中心卡方分布

参考文献编辑

  1. ^ Douglas, Bates. Quadratic Forms of Random Variables (PDF). STAT 849 lectures. [August 21, 2011]. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04). 
  2. ^ Mathai, A. M. & Provost, Serge B. Quadratic Forms in Random Variables. CRC Press. 1992: 424. ISBN 978-0824786915. 
  3. ^ 1934-, Rencher, Alvin C.,. Linear models in statistics. Schaalje, G. Bruce., Wiley InterScience (Online service) 2nd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience. 2008. ISBN 9780471754985. OCLC 212120778. 

参看编辑