二次型 (統計)
期望 編輯
二次型的期望可表示為,[1]
其中, 和 分別表示 的期望值 和方差-協方差矩陣, tr 為矩陣的跡。其結果僅僅取決於是否存在 和 ;並且, 的正態性不是必要條件。
關於隨機變量的二次型參考書籍 [2]
證明 編輯
由於二次型是標量,所以二次型的跡就是它本身 。
由於矩陣的跡是其對角線元素之和(即矩陣元素線性組合的結果),因此服從期望的線性,有
利用跡的可交換性,
由期望的線性可得
由方差的標準屬性可知:
再次應用跡的可交換性可得:
方差 編輯
通常情況下,二次型的方差在很大程度上取決於 的分布。 然而,如果 服從多元正態分布,則二次型的方差的求解非常容易。假設 是一個對稱矩陣,則有,
- [3].
事實上,這可以推廣到同一向量 的兩個二次型的協方差計算中 (注意, 和 必須都是對稱矩陣):
- 。
不對稱矩陣的方差計算 編輯
在某些參考資料中,在 為非對稱矩陣情況下,也錯誤地得到了上述方差/協方差的結果。 在一般情況下, 可以通過下面方式得到:
因此
二次型舉例 編輯
設有觀測值的集合 和運算矩陣 ,則 的殘差平方和可表示為其二次型:
其中,矩陣 為對稱和等冪的,其誤差為協方差矩陣為 的高斯分布, 為自由度是 的卡方分布,參數為 ,有
參考文獻 編輯
- ^ Douglas, Bates. Quadratic Forms of Random Variables (PDF). STAT 849 lectures. [August 21, 2011]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04).
- ^ Mathai, A. M. & Provost, Serge B. Quadratic Forms in Random Variables. CRC Press. 1992: 424. ISBN 978-0824786915.
- ^ 1934-, Rencher, Alvin C.,. Linear models in statistics. Schaalje, G. Bruce., Wiley InterScience (Online service) 2nd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience. 2008. ISBN 9780471754985. OCLC 212120778.