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數學中的伯努利不等式是說:對任意整數,和任意實數

如果且是偶數,則不等式對任意實數成立。

可以看到在,或時等號成立,而對任意正整數和任意實數,有嚴格不等式:

伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。

證明和推廣编辑

伯努利不等式可以用數學歸納法證明:當 ,不等式明顯成立。假設不等式對正整數 ,實數 時成立,那麼

 
 

下面是推廣到實數的版本:如果 ,那麼:

  ,有 
 ,有 

這不等式可以用導數比較來證明:

 時,等式顯然成立。

 上定義 ,其中 , 對 求导得 , 則 當且僅當 。分情況討論:

  1.  ,則對  ;對  。因此  時取最大值 ,故得 
  2.   ,則對  ;對  。因此  時取最小值 ,故得 

在這兩種情況,等號成立當且僅當 

相關不等式编辑

下述不等式從另一邊估計 :對任意 ,都有

 

我们知道  ),因此这个不等式是平凡的。