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範疇論中,函子若滿足,則稱之為一對伴隨函子,其中稱為右伴隨函子,而左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。

定義编辑

 為函子,若存在雙函子的同構

 

則稱 為一對伴隨函子 稱為 右伴隨函子,而  左伴隨函子

上述同構進一步給出兩個同構

 
 

分別在同構的左右兩側置  ,遂得到函子間的態射(即自然變換):

 單位
 上單位

定義中的雙函子同構由單位與上單位唯一決定。

正合性编辑

 是一對伴隨函子,若 為右正合则 為左正合;此命題可由正合函子極限的定義直接導出。

例子编辑

伴隨函子在數學中處處可見,以下僅舉出幾個例子:

  • 自由對象遺忘函子是一對伴隨函子,舉範疇為例,此時單位態射不外是集合 到它生成的自由群 的包含映射。
  • 對角函子
  •   為右 -模,則  為一對伴隨函子。當 可交換時,上式的 可代為  可代為 
  • 的正像與逆像。
  • 群表示理論中的弗羅貝尼烏斯互反定理(詳閱誘導表示)。

文獻编辑

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3-540-27949-0

外部連結编辑