在洛仑兹规范下,任意电流电荷体系在场点 产生的矢势由推迟势公式给出:
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其中 是推迟时刻。
积分方程法编辑
对于一般的偶极子天线,天线上变化的电流会产生辐射场,辐射场也会影响天线上的电流分布。求解一般的偶极子天线产生的辐射场是一个复杂的边值问题。对于导体构成的直天线,设其内部的电场的切向分量为 。这样在天线内部,矢势的切向分量 满足方程:
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将推迟势公式代入,即可得到天线内部的电流密度 满足的积分方程:
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如果使用单频交流电馈电,利用分离变量法,可以将方程转化为:
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该方程被称为波克灵顿(英語:Pocklington)积分方程。它需要在适当的边界条件(如天线末端 )下求解。
如果天线由良导体构成,则 只在天线中心的空气隙中( )明显地不为零,而在导体中近似为零,可以用狄拉克δ函数 代替。此时 满足一维波动方程,具有驻波形式,满足:
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待定系数C由边界条件给出。此为海伦(英語:Hallen)积分方程。利用矩量法可以求得两个方程的数值解。
细空心圆柱形天线编辑
对于截面为圆形,半径远小于工作波长的细空心天线,可以近似认为其上的电流成轴对称分布,可对角度变量进行积分,方程转化为:
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如果进一步假定天线的半径远小于其长度(两者之比小于1/60),可以近似认为在积分中,只有z附近的 才对 有贡献, 与 具有类似的形式。这样天线内部的电流强度也近似满足一维波动方程。电流在天线上的分布近似为驻波形式:
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其中 是天线全长, 是交流电的频率。这种情形下,天线在场点 处产生的矢势为:
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如果场点离天线的距离足够远,以至于下列三个条件同时满足时,场点处于辐射区:
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此时推迟势公式可近似为:
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略去不属于辐射场的高阶项,场点的磁感应强度 满足:
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辐射功率的角分布为:
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对上式积分,利用三角积分函数,可以给出辐射总功率以及辐射阻抗的表达式:
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若天线的半径与长度之比 并不小,使用“电流驻波分布”的近似并不准确:有限的 会为这一定律引入 量级的相对修正[6]。
长度远小于工作波长的天线为短天线。