分離態射

(重定向自分離概形

數學中,分離態射概形間一類具良好幾何性質的態射,由此可定義分離概形。在亞歷山大·格羅滕迪克的著作中,原將一般的概形稱作預概形(préschéma),而將分離概形稱作概形;1967年左右改稱現名。

定義编辑

 為概形。一個態射 被稱作分離態射,若且唯若它所給出的對角映射 是閉浸入。

由此可定義 上的分離概形。若取 為終對象 ,可定義絕對的分離概形。

性質探討编辑

從分離性可推出:設 分離,對任何 裡的態射 ,若    在一個稠密開集上相等,則 。準此,可視分離概形為豪斯多夫空間在概形論裡的推廣。

根據定義,分離性僅與拓撲有關: 分離若且唯若 分離。群概形都是分離的(考慮映射 )。此外;仿射概形皆屬分離概形。

另一個有用的性質是:若 是仿射概形,  上的分離概形,且 是仿射開集,則 亦是仿射開集。

下述常見態射都是分離的:

  • 概形間的單射(包括開浸入與閉浸入)都是分離態射
  • 分離態射的合成仍是分離態射
  • 分離態射換底後仍是分離態射
  •  是分離態射,其 亦然。
  •  是分離態射,則 是分離態射。
  • 射影態射是分離態射

於是乎擬射影態射都是分離的,這涵蓋了經典代數幾何裡的所有對象。但在概形論中,我們可透過黏合造出非分離概形;研究函子的可表性時(特別是模空間的研究)亦須仔細處理分離性。

賦值判準编辑

分離性與豪斯多夫性質的類比給出另一種刻劃。設所論概形都是局部諾特概形。僅須處理 是一維時的情形,透過一些代數的論證,可化約到 ,其中 是個離散賦值環之情形;此時態射的唯一延拓性譯為下述陳述:

 都是局部諾特概形, 是局部有限型態射,下述陳述等價:
  •   是分離態射。
  • 對任何形如  -概形,其中 是離散賦值環,設  的分式環;若兩個 -態射 拉回至 相等,則有 

文獻编辑