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切比雪夫滤波器

四阶第一类切比雪夫低通滤波器的频率响应图

切比雪夫滤波器(又译柴比雪夫滤波器,英語:chebyshev filter)是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”,在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快,但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小,但是在通频带内存在幅度波动。

这种滤波器来自切比雪夫多项式,因此得名,用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫(Пафнутий Львович Чебышёв)。

特性编辑

I型切比雪夫滤波器编辑

I型切比雪夫滤波器最为常见。

n阶第一类切比雪夫滤波器的幅度与频率的关系可用下列公式表示[1]


 

其中:

  •  
  •   是滤波器在截止频率 的放大率 (注意: 常用的以幅度下降3分贝的频率点作为截止频率的定义不适用于切比雪夫滤波器!)
  •   切比雪夫多项式[2]

切比雪夫多项式编辑

 
切比雪夫多项式
 
 

其中  


或:

 
 
n 切比雪夫多项式
0 1
1  
2  
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  



切比雪夫滤波器的阶数等于此滤波器的电子线路内独立的电抗元件(或元件组)数。


切比雪夫滤波器的幅度波动 =  分贝

 ,切比雪夫滤波器的幅度波动= 3分贝。

如果需要幅度在在阻频带边上衰减得更陡峭,可允许在复平面的  轴上存在零点。但结果会使通频带内振幅波动较大,而在阻频带内对信号抑制较弱。 这种滤波器叫椭圆函数滤波器或考尔滤波器。

II型切比雪夫滤波器编辑

也称倒数切比雪夫滤波器,较不常用,因为频率截止速度不如I型快,也需要用更多的电子元件。II型切比雪夫滤波器在通频带内没有幅度波动,只在阻频带内有幅度波动。

II型切比雪夫滤波器的转移函数为:

 

参数 ε 与 阻频带衰减度 γ 有如下关系:

  分贝。

5分贝衰减度相当于ε = 0.6801; 10分贝衰减度相当于 ε = 0.3333。

截止频率 fC = ωC/2 π

-3分贝频率fH截止频率 fC 有如下关系:

 

使用范围编辑

  • 如果需要快速衰减而允许通频带存在少许幅度波动,可用第一类切比雪夫滤波器;如果需要快速衰减而不允许通频带存在幅度波动,可用第二类切比雪夫滤波器。

与其他滤波器的比较编辑

下图比较四种同阶低通滤波器:(左上)巴特沃斯滤波器、(右上)I型切比雪夫滤波器、(左下)II型切比雪夫滤波器(右下)椭圆函数滤波器

两类切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器陡峭; 但不如椭圆函数滤波器,然而后者幅度波动较大。

参考编辑

参考文献编辑

  1. ^ Rolf Schaumann et al, p295
  2. ^ Rolf Schaumann p295-298
  • Rolf Schaumann,Haiqiao Xiao, Mac E.van Valkenburg, Analog Filter Design, 2nd Indian Edition, Oxford University Press, 2013
  • Adel S. Sedra, Peter O. Brackett, Filter Theory and Design:Active and Passive, Matri Publishers Inc,1978