切比雪夫濾波器

切比雪夫濾波器(又譯柴比雪夫濾波器,英語:chebyshev filter),也被稱為等漣波濾波器equal ripple filter),是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器。在通帶波動的為「I型切比雪夫濾波器」,在阻帶波動的為「II型切比雪夫濾波器」。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快,但頻率響應的幅頻特性不如後者平坦。切比雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應曲線之間的誤差最小,但是在通頻帶內存在幅度波動。

四階第一類切比雪夫低通濾波器的頻率響應圖

這種濾波器來自切比雪夫多項式,因此得名,用以紀念俄羅斯數學家巴夫尼提·列波維奇·切比雪夫(Пафнутий Львович Чебышёв)。

特性

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I型切比雪夫濾波器

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I型切比雪夫濾波器最為常見。

n階第一類切比雪夫濾波器的幅度與頻率的關係可用下列公式表示[1]


 

其中:

  •  
  •   是濾波器在截止頻率 的放大率 (注意: 常用的以幅度下降3分貝的頻率點作為截止頻率的定義不適用於切比雪夫濾波器!)[來源請求]
  •   切比雪夫多項式[2]

切比雪夫多項式

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切比雪夫多項式
 
 

其中  


或:

 
 
n 切比雪夫多項式
0 1
1  
2  
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  



切比雪夫濾波器的階數等於此濾波器的電子線路內獨立的電抗元件(或元件組)數。


切比雪夫濾波器的幅度波動 =  分貝

 ,切比雪夫濾波器的幅度波動= 3分貝。

如果需要幅度在在阻頻帶邊上衰減得更陡峭,可允許在複平面的  軸上存在零點。但結果會使通頻帶內振幅波動較大,而在阻頻帶內對信號抑制較弱。 這種濾波器叫橢圓函數濾波器或考爾濾波器。

II型切比雪夫濾波器

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也稱倒數切比雪夫濾波器,較不常用,因為頻率截止速度不如I型快,也需要用更多的電子元件。II型切比雪夫濾波器在通頻帶內沒有幅度波動,只在阻頻帶內有幅度波動。

II型切比雪夫濾波器的轉移函數為:

 

參數 ε 與 阻頻帶衰減度 γ 有如下關係:

  分貝。

5分貝衰減度相當於ε = 0.6801; 10分貝衰減度相當於 ε = 0.3333。

截止頻率 fC = ωC/2 π

-3分貝頻率fH截止頻率 fC 有如下關係:

 

使用範圍

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  • 如果需要快速衰減而允許通頻帶存在少許幅度波動,可用第一類切比雪夫濾波器;如果需要快速衰減而不允許通頻帶存在幅度波動,可用第二類切比雪夫濾波器。

與其他濾波器的比較

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下圖比較四種同階低通濾波器:(左上)巴特沃斯濾波器、(右上)I型切比雪夫濾波器、(左下)II型切比雪夫濾波器(右下)橢圓函數濾波器

 

兩類切比雪夫濾波器比巴特沃斯濾波器陡峭; 但不如橢圓函數濾波器,然而後者幅度波動較大。

參考

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參考文獻

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  1. ^ Rolf Schaumann et al, p295
  2. ^ Rolf Schaumann p295-298
  • Rolf Schaumann,Haiqiao Xiao, Mac E.van Valkenburg, Analog Filter Design, 2nd Indian Edition, Oxford University Press, 2013
  • Adel S. Sedra, Peter O. Brackett, Filter Theory and Design:Active and Passive, Matri Publishers Inc,1978