加法原理

組合計數原理。兩個不交集並集的大小,是兩集合大小之和

加法原理[1]rule of sum[2]:66[3]:342addition principle[4][5])是組合計數的基本組合原理。簡單而言,若有種方式做某事,又有種方式做另一件事,且恰好要做其中之一,則總共有種方案。[2][4]

嚴格化的數學中,加法原理是有關集合大小的事實,斷言任意有限多個兩兩互斥的集合大小之和,等於其並集的大小。以符號表示為,若集合兩兩互斥,則有

[4][5]

簡單例子编辑

設學校田徑運動會中,學生要報名恰好一個項目,可以是田賽或徑賽。若選田賽,則可以選跳高、跳遠、鉛球三項之一。若選徑賽,則可以選一百米跑、四百米跑兩項之一。

應用加法原理,共有 種報名方案。

容斥原理编辑

 
三幅文氏圖,每個區域標的數,是該圖下方算式中,該區域(對應的集合)的元素數了多少次,驗證了容斥原理。

容斥原理可以視為加法原理的推廣,因為是同樣計算若干個集合之的大小,但不要求各集合兩兩互斥。其斷言,若 為有限集,則

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參考文獻编辑

  1. ^ 國家教育研究院. addition rule. 雙語詞𢑥、學術名詞暨辭書資訊網. [2021-09-03]. (原始内容存档于2021-09-04). 
  2. ^ 2.0 2.1 Leung, K. T.; Cheung, P. H. Fundamental Concepts of Mathematics. Hong Kong University Press. 1988-04-01 [2021-09-03]. ISBN 978-962-209-181-8. (原始内容存档于2021-08-14) (英语). 
  3. ^ Penner, R. C. Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures. World Scientific. 1999 [2021-09-03]. ISBN 978-981-02-4088-2. (原始内容存档于2021-08-14) (英语). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Biggs, Norman L. Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. 2002: 91, 112. ISBN 978-0-19-871369-2. 
  5. ^ 5.0 5.1 enumerative combinatorics. planetmath.org. 22 March 2013 [14 August 2021]. (原始内容存档于2014-07-23). 

參見编辑

  • 其他組合技巧如:
    • 乘法原理——組合計數原理,計算從兩集合各取一個元素的方法數
    • 容斥原理——組合數學的計數技巧,重複數算的數目要扣除