半指數函數

在數學上，半指數函數（Half-exponential function）是指數函數的函數平方根（英语：Functional square root）；換句話說，若 $f$ 是一個半指數函數，則 $f$ 與自己的複合函數會是一個指數函數：^[1]^[2] $f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},$ 其中 $a$ 與 $b$ .是常數。

解析解的不存在性

假若以加減乘除等標準算數運算、指數、對數及實數常數等來表達一個函數 $f$ ，那麼 $f{\bigl (}f(x){\bigr )}$ 要不就是次指數的，要不就是超指數的，^[3]因此哈代L-函數（英语：Hardy field）不可能是半指數函數。

建構

有無限多的函數，其半複合函數是與彼此相同的指數函數；特別地，對於任意位於開區間 $(0,1)$ 當中的數 $A$ 及任意從 $[0,A]$ 映至 $[A,1]$ 的嚴格遞增满射連續函数 $g$ 而言，都存在作為這函數擴張的嚴格遞增連續實數函數 $f$ ，使得 $f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x$ .^[4]，而這 $f$ 是以下函數方程的唯一解：

$f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{if }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{if }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{if }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{if }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}$

半指數函數的例子

一個簡單的、使得 $f$ 處處有連續一階導數例子，是設 $A={\tfrac {1}{2}}$ 且 $g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}$ ，而這會得到下式： $f(x)={\begin{cases}\log _{e}\left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\log _{e}2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}-\log _{e}2\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}$

應用

半指數函數出現於計算複雜性理論當中，在其中半指數成長率是介於多項式成長率與指數成長率「之間」的一種成長速率。^[2]若一個函數 $f$ 的成長率至少與半指數函數一樣快（也就是這函數與自身的複合函數的成長率是指數函數），就表示說這函數是非遞減的，且對於任意 $C>0$ 而言，有 $f^{-1}(x^{C})=o(\log x)$ 。^[5]

參見

參考資料

^ Kneser, H. Reelle analytische Lösungen der Gleichung $φ (φ (x) = e x$ und verwandter Funktionalgleichungen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1950, 187: 56–67 [2022-06-22]. MR 0035385. （原始内容存档于2022-05-18）.
^ ^2.0 ^2.1 Miltersen, Peter Bro; Vinodchandran, N. V.; Watanabe, Osamu. Asano, Takao; Imai, Hiroshi; Lee, D. T.; Nakano, Shin{-}Ichi; Tokuyama, Takeshi , 编. Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26-28, 1999, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 1627. Springer: 210–220. 1999. MR 1730337. doi:10.1007/3-540-48686-0_21. |contribution=被忽略 (帮助)
^ van der Hoeven, J. Transseries and real differential algebra. Lecture Notes in Mathematics 1888. Springer-Verlag, Berlin. 2006. ISBN 978-3-540-35590-8. MR 2262194. doi:10.1007/3-540-35590-1. . See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the half-integer that would be required for a half-exponential function.
^ Crone, Lawrence J.; Neuendorffer, Arthur C. Functional powers near a fixed point. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1988, 132 (2): 520–529. MR 0943525. doi:10.1016/0022-247X(88)90080-7  .
^ Razborov, Alexander A.; Rudich, Steven. Natural proofs. Journal of Computer and System Sciences. 1997, 55 (1): 24–35. MR 1473047. doi:10.1006/jcss.1997.1494  .

外部連結

[sqrtexp-1] Kneser, H. Reelle analytische Lösungen der Gleichung $φ (φ (x) = e x$ und verwandter Funktionalgleichungen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1950, 187: 56–67 [2022-06-22]. MR 0035385. （原始内容存档于2022-05-18）.

[miltersen-2] 2.0 ^2.1 Miltersen, Peter Bro; Vinodchandran, N. V.; Watanabe, Osamu. Asano, Takao; Imai, Hiroshi; Lee, D. T.; Nakano, Shin{-}Ichi; Tokuyama, Takeshi , 编. Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26-28, 1999, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 1627. Springer: 210–220. 1999. MR 1730337. doi:10.1007/3-540-48686-0_21. |contribution=被忽略 (帮助)

[transseries-3] van der Hoeven, J. Transseries and real differential algebra. Lecture Notes in Mathematics 1888. Springer-Verlag, Berlin. 2006. ISBN 978-3-540-35590-8. MR 2262194. doi:10.1007/3-540-35590-1. . See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the half-integer that would be required for a half-exponential function.

[croneu-4] Crone, Lawrence J.; Neuendorffer, Arthur C. Functional powers near a fixed point. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1988, 132 (2): 520–529. MR 0943525. doi:10.1016/0022-247X(88)90080-7  .

[razrud-5] Razborov, Alexander A.; Rudich, Steven. Natural proofs. Journal of Computer and System Sciences. 1997, 55 (1): 24–35. MR 1473047. doi:10.1006/jcss.1997.1494  .

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