卡諾定理 (垂線)

卡諾定理拉扎爾·卡諾命名,為垂直於三角形各邊的直線是否交於一點提供了一個充分必要條件。該定理也可被視為是畢氏定理的一般化。

卡諾定理:若三角形三邊上的垂線交於一點F,則藍色區域面積等於紅色區域面積

定理

编辑

對於一個三角形 ,其三邊為 。考慮三條垂直於各邊且交於一點的直線,若 是這三條垂線在 上的垂足,則下列關係式成立:

 

該命題的逆命題同樣成立:若 在邊上的位置滿足關係式,則以這三點為垂足做出的三條垂線會交於一點。因此,該關係式為垂線是否交於一點提供了一個充分必要條件

特例

编辑

若三角形 的角 為直角,則可以將三條垂線的交點 置於 上。此時由於   ,可得      ,代入卡諾定理的關係式後,即可推得畢氏定理 

若三條垂線皆為中垂線,則   ,無論三邊長度為何,上述關係式必會成立,故可推得三角形的三條中垂線必交於一點。

參考資料

编辑