卡诺定理 (垂线)

卡诺定理拉扎尔·卡诺命名,为垂直于三角形各边的直线是否交于一点提供了一个充分必要条件。该定理也可被视为是毕氏定理的一般化。

卡诺定理:若三角形三边上的垂线交于一点F,则蓝色区域面积等于红色区域面积

定理

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对于一个三角形 ,其三边为 。考虑三条垂直于各边且交于一点的直线,若 是这三条垂线在 上的垂足,则下列关系式成立:

 

该命题的逆命题同样成立:若 在边上的位置满足关系式,则以这三点为垂足做出的三条垂线会交于一点。因此,该关系式为垂线是否交于一点提供了一个充分必要条件

特例

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若三角形 的角 为直角,则可以将三条垂线的交点 置于 上。此时由于   ,可得      ,代入卡诺定理的关系式后,即可推得毕氏定理 

若三条垂线皆为中垂线,则   ,无论三边长度为何,上述关系式必会成立,故可推得三角形的三条中垂线必交于一点。

参考资料

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