可逆层

代数几何学中, 可逆层是在赋环空间X上的一个凝聚层S,使得 S关于OX-模上的张量积存在一个逆元素T。这是拓扑意义上的线丛在代数几何学中的类比。 可逆层也被等价定义为秩为1的局部自由层。可逆层在研究代数簇时起到了重要的作用。

定义编辑

可逆层被定义为在赋环空间 上的一个凝聚层S,使得 S关于OX-模上的张量积存在一个逆元素T 。这相当于说,我们有

 

这里,空间X的环层 是张量积运算下的单位元。可逆层的重要例子来源于对代数几何学复流形的研究。在这些研究中,可逆层等同于线丛。

上述可逆层的定义采用概形语言叙述。这个定义可被替换为可逆层是“秩为1的局部自由层”。这意味着, 在X上张量逆的存在等价于S 是某个交换环R上、具有秩为1的模的形式的层。更普遍地说,当X是仿射概形Spec(R)时,可逆层由R上的秩为1的投射模组成。

皮卡群编辑

一般来说,X上的可逆层的同构类关于张量积构成了一个阿贝尔群,被称作皮卡群(Picard Group),记作 ,其中Pic 代表皮卡函子。皮卡群推广了 理想类群的概念。皮卡群的构造融合了代数曲线上雅可比簇的理论在内,于是在代数几何学中,对皮卡函子的研究成为了核心问题之一。

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参考资料编辑

  • Section 0.5.4 of Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.