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哈密頓量 (最佳控制)

最优控制中的哈密頓量(Hamiltonian)是由列夫·庞特里亚金所發展,是庞特里亚金最小化原理的一部份[1]。哈密頓量的概念是由古典力學中的哈密顿力学所引發,但兩者是不同的概念。庞特里亚金證明了求解最优控制問題的必要條件,就是要選擇可使哈密頓量最小化的控制輸入。細節可參考庞特里亚金最小化原理

問題的敘述编辑

最佳控制的問題,是要選擇控制輸入 ,使以下的目標函數有最小值

 

其中 為系統狀態,滿足狀態方程式

 

控制需滿足以下的限制條件

 

哈密頓量的定義编辑

 

其中 協態變數組成的向量,其維度和狀態變數 相同。

若要進一步瞭解哈密頓量的性質,可參考庞特里亚金最小化原理

離散時間下的哈密頓量编辑

若問題是在離散時間下,其哈密頓量定義為:

 

協態方程

 

(注意此處提到,離散哈密頓量在時間 的值和協態變數在時間 的值有關[2]。這個小差異很重要,在對 微分後,可以在協態方程右邊得到和 有關的算式。若寫法有誤,所得的協態方程不是後向的差分方程,會帶來錯誤的結果。)

控制哈密頓量和力學哈密頓量的比較编辑

威廉·哈密頓定義力學中的哈密頓量為三個變數的函數:

 

其中 定義如下

 

哈密頓再將方程改為

 
 

最佳控制中的哈密頓量則是四個變數的函數:

 

其要有最大值的相關條件為

 
 
 

上述定義和Sussmann及Willems論文所提的一致[3]。Sussmann及Willems證明了控制哈密頓量可以用在動力學上,例如最速降線問題,不過沒有提到康斯坦丁·卡拉西奥多里較早時期在此領域的貢獻[4]

參考資料编辑

  1. ^ Dixit, Avinash K. Optimization in Economic Theory. New York: Oxford University Press. 1990: 145–161. ISBN 0-19-877210-6. 
  2. ^ Varaiya, Chapter 6
  3. ^ Sussmann; Willems. 300 Years of Optimal Control (PDF). IEEE Control Systems. June 1997. 
  4. ^ See Pesch, H. J.; Bulirsch, R. The maximum principle, Bellman's equation, and Carathéodory's work. Journal of Optimization Theory and Applications. 1994, 80 (2): 199–225. doi:10.1007/BF02192933. 

外部連結编辑