庞特里亚金最大化原理

庞特里亚金最大化原理(Pontryagin's maximum principle)也根据使用条件稱為庞特里亚金最小化原理最大值原理最小值原理,是最优控制中的理論,是在狀態或是輸入控制項有限制條件的情形下,可以找到將动力系统由一個狀態到另一個狀態的最優控制信號。此理論是蘇俄數學家列夫·庞特里亚金及他的學生在1956年提出的[1]。這是变分法歐拉-拉格朗日方程的特例。

簡單來說,此定理是指在所有可能的控制中,需讓「控制哈密頓量」(control Hamiltonian)取極值,極值是最大值或是最小值則依問題以及哈密頓量的符號定義而不同。正式的用法,也就是哈密頓量中所使用的符號,會取到最大值,但是此條目中使用的符號定義方式,會讓極值取到最小值。

是所有可能控制值的集合,則此原理指出,最優控制必須滿足以下條件:

其中是最佳狀態軌跡,而是最佳 協態軌跡[2]

此結果最早成功的應用在輸入控制有限制條件的最小時間問題中,不過也可以用在狀態有限制條件的問題中。

也可以推導控制哈密頓量的特殊條件。若最終時間固定,且控制哈密頓量不是時間的顯函數,則:

若最終時間沒有限制,則:

若在某一軌跡上滿足庞特里亚金最大化原理,此原理是最佳解的必要条件哈密顿-雅可比-贝尔曼方程 提供了最佳解的充份必要條件,但該條件須在整個狀態空間中都要成立。

最大化和最小化编辑

此定理一開始的名稱是庞特里亚金最大化原理(Pontryagin's maximum principle),其證明也是以控制哈密頓量最大化為基礎。此原理最早的應用是要最大化火箭的終端速度。不過後來此定理大部份的應用是使性能指標最小化,因此常稱為庞特里亚金最小化原理。庞特里亚金的書解出了要讓性能指標最小化的問題[3]

符號编辑

以下的內容會使用這些表示方式

 
 
 
 
 

最小化問題必要條件的正式敘述编辑

以下是讓泛函最小化的必要條件。令 為在輸入為 時,動態系統的狀態,且滿足以下條件

 

其中

 為可行控制的集合
 為系統的結束時間。

控制 需在所有 內使目標泛函 最小化,目標泛函 隨應用而定,可以寫成

 

系統動態的限制可以用導入時變拉格朗日乘数向量 的方式和 相加,而拉格朗日乘数向量 的元素稱為系統的協態(costate)。因此可以建構在所有  哈密頓量為:

 

其中  的轉置。

庞特里亚金最小化原理提到最佳狀態軌跡 ,最佳控制 及對應的拉格朗日乘数向量 必需最小化哈密頓量 ,因此

 

針對所有 時間,也針對所有可能的控制輸入 。以下的式子也必須成立

 

而且也要滿足以下的協態方程

 

若最終狀態 沒有固定(其微分變異不為0),最終協態也要滿足以下條件

 

上述(1)-(4)的條件是最佳控制的必要條件。公式(4)只有在 沒有固定時才需要成立。若 是固定值,公式(4)不在必要條件中。

此解法可以應用在宇宙學和天體物理學中 [4]

相關條目编辑

腳註编辑

  1. ^ 參考資料中有最早發表的論文
  2. ^ C1BV空間條目中有更多的資訊
  3. ^ 參照 Pontryagin 1962年的書,第13頁
  4. ^ Haggag, S.; Desokey, F.; Ramadan, M.,. A cosmological inflationary model using optimal control. Gravitation and Cosmology (Pleiades Publishing). 2017, 23 (3): 236–239. ISSN 1995-0721. doi:10.1134/S0202289317030069. 

參考資料编辑

  • Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Pontryagin, L. S. К теории оптимальных процессов [Towards a Theory of Optimal Processes]. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1956, 110 (1): 7–10. MR 0084444 (俄语). 
  • Pontryagin, L. S.; Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Mishchenko, E. F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. English translation. Interscience. 1962. ISBN 2-88124-077-1. 
  • Fuller, A. T. Bibliography of Pontryagin's maximum principle. J. Electronics & Control. 1963, 15 (5): 513–517. 
  • Kirk, D. E. Optimal Control Theory: An Introduction. Prentice Hall. 1970. ISBN 0-486-43484-2. 
  • Sethi, S. P.; Thompson, G. L. Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics 2nd. Springer. 2000. ISBN 0-387-28092-8.  Slides are available at [1]
  • Geering, H. P. Optimal Control with Engineering Applications. Springer. 2007. ISBN 978-3-540-69437-3. 
  • Ross, I. M. A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control. Collegiate. 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9. 
  • Cassel, Kevin W. Variational Methods with Applications in Science and Engineering. Cambridge University Press. 2013. 

外部連結编辑