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四平方和定理英语:Lagrange's four-square theorem) 說明每个正整数均可表示为4个整数平方和。它是費馬多邊形數定理華林問題的特例。

注意有些整數不可表示為3個整數的平方和,例如7。

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历史编辑

 

根据上述欧拉恒等式或四元數的概念可知如果正整数  能表示为4个整数的平方和,则其乘积 也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

  • 1751年,欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意素数 p,同余方程

  必有一组整数解x,y满足  (引理一)

至此,证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后,拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

證明编辑

根據上面的四平方和恆等式及算術基本定理,可知只需證明質數可以表示成四个整数的平方和即可。

 ,因此只需證明奇質數可以表示成四个整数的平方和。

根據引理一,奇質數 必有正倍數可以表示成四个整数的平方和。在這些倍數中,必存在一個最小的。設該數為 。又從引理一可知 

證明 不會是偶數编辑

 是偶數,且 。由奇偶性可得知必有兩個數或四個數的奇偶性相同。不失一般性設 的奇偶性相同, 的奇偶性相同, 均為偶數,可得出公式:

 

 ,與 是最小的正整數使得的假設 可以表示成四个整数的平方和不符。

證明  编辑

現在用反證法證明 。設 

  •  不可整除 的最大公因數,否則 可整除 ,則得  的因數,但 且p為質數,矛盾。

故存在不全為零、絕對值小於 (注意 是奇數在此的重要性)整數的 使得  

 
 

可得  ,其中 是正整數且小於 

  • 下面證明 可以表示成四个整数的平方和,從而推翻假設。

 ,根据四平方和恆等式可知  的倍數,令 

 
 
 

矛盾。

引理一的證明编辑

 的剩餘兩個一組的分開,可得出 組,分別為 。 將模 二次剩餘 個,分別為 

 是模 的二次剩餘,選取 使得 ,則 ,定理得證。

 不屬於模 的二次剩餘,則剩下 組,分別為 ,而模 的二次剩餘仍有 個,由於   ,根據抽屜原理,存在