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数论中,堆垒数论(additive number theory)也稱為堆疊數論加性數論,研究整數的子集合,以及其在加法下的特性。堆垒数论的領域也包括對於有加法的阿贝尔群交換半群英语commutative semigroup的研究。堆垒数论和組合数论及几何数论有密切的關係。其中主要研究的二個物件分別是阿贝尔群G中二個子集AB和集

,

以及A的h重和集

有二個主要的子領域,描述如下。

堆垒数论编辑

此領域主要關注整數的直接問題,也就是由A的結構來判斷hA的結構。例如假設A是個固定的子集,判斷哪些元集可以表示為hA的和[1]。此領域有二個經典的問題,一個是哥德巴赫猜想(猜想2P包括了所有大於2的偶數,其中P質數)以及華林問題(確認h要多大才能確保hAk包括所有正整數,其中

 

是k次方的集合)。其中許多問題都使用了源自哈代-李特爾伍德圓法筛法的工具。例如Vinogradov證明了每一個夠大的奇數都可以表示為三個質數的和,以及所有夠大的偶數都可以表示都可以表示為四個質數的和。希爾伯特證明,對於每一個大於1的整數k,每一個非負整數都是有限個k次方數的和。一般而言,非負整數的集合A,若可以讓hA包括所有的正整數,A會稱為h階的基底(basis of order h),若hA包括所有夠大的整數,A會稱為漸近基底(asymptotic basis)。許多近期的研究是關注有限階漸近基底的一般特性。例如,若集合Ah階漸近基底,而集合A的真子集都不是h階漸近基底,則集合A稱為h階的最小漸近基底。而埃尔德什-图兰堆垒基猜想英语Erdős–Turán conjecture on additive bases也是有關漸近基底的猜想。

加性組合學编辑

第二個領域主要是關注反問題,多半是和多個比整數範圍要廣的群有關,假設已知A+B sumset的資訊,目的是要找到個別集合AB的資訊[2]。(最近此子領域常用的名稱為加性組合學)。和上述有關基底的問題不同,此領域處理的多半是有限個子集而不是無限個。典型的問題是二個子集的sumset有很小的(和|A|和|B|相比),二個子集有什麼樣的結構。在整數的例子中,經典的Freiman問題英语Freiman's theorem多維算術級數英语multi-dimensional arithmetic progression提供了有力的部分答案。另一個典型的問題是要將|A+B|的下限以|A|和|B|來表示。這類問題的例子有Erdős–Heilbronn猜想英语Erdős–Heilbronn Conjecture(針對restricted sumset英语restricted sumset)及柯西–達文波特定理英语Cauchy–Davenport theorem。用來解決這類問題的方式來自各數學領域,例如組合學、遍历理论分析图论群论、線性代數及多項式法。

相關條目编辑

參考資料编辑

  1. ^ Nathanson (1996) II:1
  2. ^ Nathanson (1996) II:6
  • Henry Mann. Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory Corrected reprint of 1965 Wiley. Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. 1976. ISBN 0-88275-418-1. 
  • Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics 164. Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002. 
  • Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics 165. Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003. 
  • Tao, Terence; Vu, Van. Additive Combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 105. Cambridge University Press. 2006. 

外部連結编辑