大數法則

統計學名詞

數學統計學中,大数定律(英語:Law of large numbers)又称大数法则大数律,是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道,樣本數量越多,則其算术平均值就有越高的機率接近期望值

以特定掷单个骰子的过程来展示大数定律。随着投掷次数的增加,所有结果的均值趋于3.5(骰子點數的期望值)。不同时候做的这个实验会在投掷次數较小的时候(左部)会表现出不同的形状,当次數变得很大(右部)的时候,它们将会非常相似。

大数定律很重要,因为它“說明”了一些随机事件的均值的长期稳定性。人们发现,在重複試驗中,随着试验次数的增加,事件发生的频率趋于一个稳定值;人们同时也发现,在对物理量的测量实践中,测定值的算术平均也具有稳定性。比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上是偶然的,但当我们上抛硬币的次数足够多后,达到上万次甚至几十万几百万次以后,我们就会发现,硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一,亦即偶然之中包含着必然。

上述现象是切比雪夫不等式的一个特殊应用情况,辛钦定理伯努利大数定律也都概括了这一现象,它们统称为大数定律。

举例

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例如,抛掷一颗均匀的6面的骰子,1,2,3,4,5,6应等概率出现,所以每次扔出骰子後,出現點數的期望值是

 

根据大数定理,如果多次抛掷骰子,随着抛掷次数的增加,平均值(样本平均值)应该接近3.5,根据大数定理,在多次伯努利实验中,实验频率最后收敛于理论推断的概率值,对于伯努利随机变量,理论推断的成功概率就是期望值,而若对n个相互独立的随机变量的平均值,频率越多则相对越精准。

例如硬币投掷即伯努利实验,当投掷一枚均匀的硬币,理论上得出的正面向上的概率应是1/2。因此,根据大数定理,正面朝上的比例在相对“大”的数字下,“理应”接近为1/2,尤其是正面朝上的频率在n次实验(n接近无限大时)后应几近收敛到1/2。

即使正面朝上(或背面朝上)的比例接近1/2,几乎很自然的正面与负面朝上的绝对差值(absolute difference差值范围)应该相应随着抛掷次数的增加而增加。换句话说,绝对差值的概率应该是会随着抛掷次数而接近于0。直观的来看,绝对差值的期望会增加,只是慢于抛掷次数增加的速度。

表现形式

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大数定律主要有两种表现形式:弱大数定律强大数定律。定律的两种形式都肯定无疑地表明,样本均值

 

收敛于真值

 

其中  ,  , ... 是独立同分布、期望值  且皆勒贝格可积的随机变量构成的无穷序列。 的勒贝格可积性意味着期望值  存在且有限。

方差 有限的假设是非必要的。很大或者无穷大的方差会使其收敛得緩慢一些,但大数定律仍然成立。通常采用这个假设来使证明更加简洁。

强和弱之间的差别在所断言的收敛的方式。对于这些方式的解释,参见随机变量的收敛

弱大数定律

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弱大数定律(WLLN) 也称为辛钦定理,陈述为:样本均值依概率收敛于期望值。[1]

 

也就是说对于任意正数 ε,

 

强大数定律

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强大数定律(SLLN)指出,样本均值以概率1收敛于期望值。

 

 

切比雪夫定理的特殊情况

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  为相互独立的随机变量,其数学期望为: 方差为: 

则序列 依概率收敛 (即收敛于此数列的数学期望 )。

换言之,在定理条件下,当 无限变大时, 个随机变量的算术平均将变成一个常数。

伯努利大数定律

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设在 次独立重复伯努利试验中,事件 发生的次数为 ,事件 在每次试验中发生的母體機率为  代表樣本發生事件 的频率。

则对任意正数 ,伯努利大数定律表明:

 

換言之,事件发生的频率依機率收敛于事件的母體機率。該定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性,也就是说当 很大时,事件发生的频率与母體機率有较大偏差的可能性很小。

参见

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参考文献

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  1. ^ Rick Durrett. Probability: Theory and Examples. Cambridge University Press. 2010: 61 [2013-11-18]. ISBN 978-0-521-76539-8 (英语). 

外部連結

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