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假设X是一个代数簇,P∈X是X上的一个奇点,如果存在一个包含P的开邻域(又称开集)U,使得U中不在包含其他的奇点, 那么就称P是孤立奇点

亚纯函数中,所有奇点都是孤立的;但如果一个函数的所有奇点都是孤立的,并不能保证它是亚纯函数。复分析中许多有用的工具,例如洛朗展开留数定理等,都需要保证相关奇点的孤立性才能应用。

孤立奇点分为三种:

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例子编辑

函数  处有孤立奇点。

余割函数 在所有整数点处有孤立奇点。

复分析中孤立奇点与洛朗展开的关系编辑

可去奇点、极点、本性奇点的定义编辑

三种孤立奇点有许多等价定义,以下列出部分,用以说明与洛朗级数的关系。

  1. 一个孤立奇点 被称作可去奇点,如果 
  2. 一个孤立奇点 被称作极点,如果 
  3. 一个孤立奇点 被称作本性奇点(又译作本质奇点),如果极限 不存在。

洛朗级数的主要部分编辑

复函数 在一个以点 为圆心的解析的环形区域 上可以展开成这样的级数形式

 

其中, 具有这样的形式: 。积分路径γ是一条逆时针方向的可求长曲线,把c包围起来,位于圆环A内。

此时, 的洛朗展开式中,指数为负数的部分 称作 主要部分(principal part)。

可去奇点、极点、本性奇点与洛朗级数的主要部分的关系编辑

以下可以看作可去奇点、极点、本性奇点又一等价定义。

  1. 假设 是复函数 的一个可去奇点,则  处邻域内的洛朗级数展开式不含有主要部分。
  2. 假设 是复函数 的一个极点,则  处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分仅含有有限项;且主要部分的项数恰等于极点 的阶数。
  3. 假设 是复函数 的一个本性奇点,则  处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分含有无穷多项。

证明编辑

相关例子与应用编辑

参见编辑

外部链接编辑