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在原點處有孤立點,是一種奇點

曲線上的奇點是指曲線上參數無法光滑變化的部份。準確的定義要視曲線的種類而定。

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平面上的代數曲線编辑

平面上的代數曲線可以定義為滿足方程f(xy)=0的點的集合,其中f多項式函數。

f展開為以下的形式

 

且若原點(0, 0)在曲線上,則a0=0。若b1≠0,則隐函数定理可確定有一光滑函數h,使得在原點附近y=h(x)會成立。同様的,若b0≠0,則在原點附近曲線會接近x=k(y) 。上述任何一個情形下,都有一個光滑映射R映射到原點附近曲線所在的平面,注意在原點處

 

因此只要任何一個f偏導數不為零,曲線即為非奇異。曲線的奇點出現在二個偏導數皆為零的位置。

 

非奇異點编辑

假設曲線通過原點,原點附近可近似為y=mx,則f可以寫為如下的式子

 

b0+mb1不為零,則f=0在x=0處有階數為1的解。若b0+mb1=0 ,則f=0在x=0處有階數為2(或更高)的解,且y=mxb0x+b1y=0都會是曲線的切線。此時,若if c0+2mc1+c2m2不為零,則曲線在和y=mx接觸處有二重点(point of double)。若x2, c0+2mc1+c2m2的係數為零,但x3係數不為零,則原點是曲線的拐点。若x2x3的係數都是零,則原點稱為曲線的波动点(point of undulation)。上述分析可以應用在曲線上的任意點,只要平移座標軸,使要分析的點變成原點即可[1]

二重點编辑

 
三個帕斯卡蜗线,左圖是沒有二重點的帕斯卡蜗线,中間的蜗线(心脏线)在原點處有一個尖點,右邊的蜗线在原點有一個叉点,也就是曲線在該位置有二條切線

若在上述說明中,b0b1都是零,但至少c0c1c2中有一個不為零,則原點即為曲線的二重点。再令y=mx,則f可寫成

 

二重點可以依以下方程的解來分類: c0+2mc1+m2c2=0.

叉點编辑

c0+2mc1+m2c2=0有二個m的實根,也就是c0c2c12<0,則原點為叉點。曲線在叉點和自身相交,二條切線對應c0+2mc1+m2c2=0的二個解。原點為函數f鞍點

孤立點编辑

c0+2mc1+m2c2=0沒有m的實根,也就是c0c2c12>0,則原點為孤立點。在實數平面上,原點為曲線的一個孤点,不過若當做複數曲線來考慮,c0+2mc1+m2c2=0的二部份的解之間有複數的切線相連。此情形下函數在原點處有极值

尖點编辑

c0+2mc1+m2c2=0有一個m的二重根,也就是c0c2c12=0,原點稱為尖點。此時曲線在原點變動方向,產生一個尖銳的圖形。曲線在原點處有單一的切線,但是可視為二條恰好重合的切線。

進一步的分類编辑

node一詞是用來表示叉點或是孤立點,也就是不為尖點的二重點。曲線中node數量及尖點數量是二個曲線的不變量,在普吕克公式英语Plücker formula中有用到。

c0+2mc1+m2c2=0的一個解也是d0+3md1+3m2d2+m3d3=0的解,則曲線對應的分支在原點為拐點,此時原點稱為flecnode。若兩條切線都有此性質,則c0+2mc1+m2c2d0+3md1+3m2d2+m3d3的因式,原點稱為biflecnode[2]

三重點编辑

 
一個有三重點的曲線

f中所有小於k次方的係數都為零,且至少有一項k次方的係數不為0,此曲線即有k階的多重點。一般而言曲線在原點處有k條切線,不過有些切線可能會是虛數[3]

以參數式表示的曲線编辑

R2平面中的參數曲線定義為由RR2函數 g的像,函數g(t) = (g1(t),g2(t))。其中的奇點為滿足以下條件的點

 
 
尖點

許多曲線可以用方程式來定義,也可以用參數方程定義。代數曲線x3y2 = 0會有一尖點,若改用參數式g(t) = (t2,t3),尖點仍然存在。

不過有時奇點的數量可能會隨定義方式而不同。例如y2x3x2 = 0在原點有一奇點,為叉點,但若用參數式g(t) = (t2−1,t(t2−1)),因為g′(t) 在任意位置都不為零,因此同一曲線的參數式中,不存在奇點。

在將曲線用參數方程表示時,參數的選擇會影響一些相關的分析。例如直線y = 0,本身不存在奇點,若用參數方程g(t) = (t,0),也沒有奇,但若用參數方程g(t) = (t3,0)表示,在原點處就會有一個奇點。因此參數式奇點的專業用語應該稱為光滑映射的奇點(singular points of a smooth mapping)比較合適。

哈斯勒·惠特尼有一定理提到[4][5]

任意Rn內的闭集都可以表示為某一光滑函數f:RnR,其方程f−1(0)的解集合。

上述的定義可以延伸到用隱函數定義的曲線,定義方式為f−1(0)的解集合,而f光滑函數,因此不一定只考慮代數簇,可以延伸到更高維度的曲線。

任何參數化的曲線可以定義為隱函數的曲線,曲線奇点的分類也會在代數簇上的奇點英语singular point of an algebraic variety的分類中加以研究。

奇點的種類编辑

以下是一些可能的奇點:

  • 單獨的一個點:x2+y2 = 0,屬於孤立点
  • 二條線交於一點:x2y2 = 0,屬於叉点
  • 尖點x3y2 = 0
  • rhamphoid尖點x5y2 = 0.

參考資料编辑

  1. ^ Hilton Chapter II §1
  2. ^ Hilton Chapter II §2
  3. ^ Hilton Chapter II §3
  4. ^ Brooker and Larden, Differential Germs and Catastrophes, London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge, (1975)
  5. ^ Bruce and Giblin, Curves and singularities, (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9, ISBN 0-521-42999-4 (paperback)

相關條目编辑