邻域系

(重定向自局部基

定义编辑

 的映射   的幂集的幂集)。这样  的每个点 映射至 的子集族  称为 邻域系(或称邻域系统 的元素称为 邻域),当且仅当对任意的  满足如下邻域公理

  • U1:若 ,则 
  • U2:若 ,则 。(邻域系对邻域的有限交封闭)。
  • U3:若  ,则 
  • U4:若 ,则存在 ,使 且对所有 ,有 

从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念:

  • 邻域定义开集 的子集 是开集,当且仅当对任意 ,有 。( 是其中每个点的邻域)。
  • 邻域定义开核 的子集 的开核 
  • 邻域定义闭包 的子集 的闭包 

参照滤子的定义。给定点x,其邻域系 恰构成了一个滤子,称为邻域滤子

邻域基编辑

 邻域基局部基 ,就是邻域滤子 滤子基。它是 的子集,满足:每个x的邻域   都存在 ,使 

 ,使  

反之,给出邻域基 ,可以反推出相应的邻域滤子: [1]

例子编辑

  • 一个点的邻域系也平凡的是这个点的邻域基。
  • 若拓扑空间X不可分拓扑,则任何点 x 的邻域系是整个空间 
  • 度量空间中,对于任何点 x,围绕 x 有半径 1/n开球序列形成可数邻域基  。这意味着所有度量空间都是第一可数的。
 
这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说,只要拓扑是通过平移不变度量伪度量定义的以上结论就是真的。
  • 非空集合 A 的所有邻域系是叫做 A 的邻域滤子的滤子
  • 拓扑空间 X 中所有点 x 的局部基的并集是 X

参见编辑

註釋编辑

  1. ^ Stephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)