鄰域系

定義

$X$的映射${\mathfrak {U}}:X\to P(P(X))$（$P(P(X))$指$X$的冪集的冪集）。這樣${\mathfrak {U}}$將$X$的每個點$x$映射至$X$的子集族${\mathfrak {U}}(x)$。${\mathfrak {U}}(x)$稱為$x$的鄰域系（或稱鄰域系統，${\mathfrak {U}}(x)$的元素稱為$x$的鄰域），若且唯若對任意的$x\in X$，${\mathfrak {U}}(x)$滿足如下鄰域公理：

• U₁：若$U\in {\mathfrak {U}}(x)$，則$x\in U$。
• U₂：若$U,V\in {\mathfrak {U}}(x)$，則$U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)$。（鄰域系對鄰域的有限交封閉）。
• U₃：若$U\in {\mathfrak {U}}(x)$，$U\subseteq V\subseteq X$，則$V\in {\mathfrak {U}}(x)$。
• U₄：若$U\in {\mathfrak {U}}(x)$，則存在$V\in {\mathfrak {U}}(x)$，使$V\subseteq U$且對所有$y\in V$，有$V\in {\mathfrak {U}}(y)$。

從鄰域出發定義其它拓撲空間的基礎概念：

• 從鄰域定義開集：$X$的子集$O$是開集，若且唯若對任意$x\in O$，有$O\in {\mathfrak {U}}(x)$。（$O$是其中每個點的鄰域）。
• 從鄰域定義開核：$X$的子集$A$的開核$A^{\circ }=\{x|\exists U\in {\mathfrak {U}}(x),U\subseteq A\}$。
• 從鄰域定義閉包：$X$的子集$A$的閉包${\overline {A}}=\{x|\forall U\in {\mathfrak {U}}(x),U\cap A\neq \varnothing \}$。

參照濾子的定義。給定點x，其鄰域系${\mathfrak {U}}(x)$恰構成了一個濾子，稱為鄰域濾子。

鄰域基

點$x$的鄰域基或局部基${\mathcal {B}}(x)$，就是鄰域濾子${\mathfrak {U}}(x)$的濾子基。它是${\mathfrak {U}}(x)$的子集，滿足：每個x的鄰域 $U$ 都存在$B\in {\mathcal {B}}(x)$，使$B\subseteq U$。

（${\mathcal {B}}(x)\subseteq {\mathfrak {U}}(x)$，使$\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)$，$\exists B\in {\mathcal {B}}(x):B\subseteq U$）

反之，給出鄰域基${\mathcal {B}}(x)$，可以反推出相應的鄰域濾子：${\mathfrak {U}}(x)=\{U|\exists B\in {\mathcal {B}}(x),B\subseteq U\subseteq X\}$。

例子

• 一個點的鄰域系也平凡的是這個點的鄰域基。

• 若拓撲空間X是不可分拓撲，則任何點 x 的鄰域系是整個空間${\mathcal {V}}(x)=\{X\}$

• 在度量空間中，對於任何點 x，圍繞 x 有半徑 1/n 的開球序列形成可數鄰域基 ${\mathcal {B}}(x)=\{B_{1/n}(x);n\in \mathbb {N} ^{*}\}$。這意味著所有度量空間都是第一可數的。

• 在半賦范空間中，就是帶有由半範數引發的拓撲的向量空間，所有鄰域系統可以通過點 0 的鄰域系統的平移來構造，

${\mathcal {V}}(x)={\mathcal {V}}(0)+x$。

這是因為向量加法在引發的拓撲中是分離連續的。所以這個拓撲確定自它的在原點的鄰域系。更一般的說，只要拓撲是通過平移不變度量或偽度量定義的以上結論就是真的。

• 非空集合 A 的所有鄰域系是叫做 A 的鄰域濾子的濾子。

• 拓撲空間 X 中所有點 x 的局部基的併集是 X 的基。

參見

• 鄰域
• 基 (拓撲學)
• 局部凸拓撲向量空間
• 濾子 (數學)