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在数学中, 一个现象如果是局部的,它在足够小的或者任意小的点的邻域内显现.

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单独一个空间的性质编辑

一个 拓扑空间 被叫做展现局部性质,如果这个性质展现在"临近"的每一点对于下面不同的情况:

  1. 每一点有一个邻域展现出这个性质;
  2. 每个点有一组邻域基的集合显现这个性质.

第二种情况一般强于第一种情况,并且一定要小心区分这两种情况的区别.举个例子,一些变量在定义在局部紧性而引发出的不同情况对于局部的理解.

给一些等价概念(比如,同胚,等距变换)在拓扑空间之间,两个空间是局部等价的,如果第一个空间的每一点有一个邻域,这个邻域等价于第二个空间的一个邻域的话.

举个例子,圆和线是十分不同的对象.一个人不能将圆拉伸使得圆看起来像直线在不造成缺口的情况下,也不能挤压直线成为圆的形状不通过部分重叠的情况下. 但是,一小部分的圆能够拉伸同时压平能够看起来像一小部分的直线.因为这个原因,我们也许会说圆和直线局部等价.

简单的,球面和平面是局部等价的.一个足够小的观察者站在球的表面(比如,一个人站在地球上)将会发现这时不能区别此时在平面上还是球面上.

在阶为无限(拥有无限个元素)的群编辑

读一个无限群,"邻域"理解成一个有限生成子群.一个无限群被叫做拥有局部性质P,如果每一个有限生成子群拥有性质P.举个例子,一个群是局部有限的,如果每一个有限生成子群是有限的.一个群是局部可解的如果每一个有限生成子群是可解群

有限群中的性质编辑

对于有限群,一个"小邻域"被理解为一个素阶子群,一般叫做局部子群,一个不平凡的正规P阶子群.一个性质被叫做是局部的如果它能够被检视在局部子群上.全部的和局部的性质形成了重要的一部分在早期的单群分类的工作上在1960s.

交换环上的性质编辑

对于交换环,代数几何上的观念使得它自然的拥有"小邻域"在环被看做是素理想.一个性质被叫做是局部的如果他能够在局部的环上被检视到.举个例子,平坦模是交换环上的局部性质,但是自由模则不是.参见模的局部化