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數學中,局部環是只有一個極大理想交換環

局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入,稱之為 Stellenringe,英譯 local ring 源自扎裡斯基

定義编辑

  為交換含幺環。若   僅有一個極大理想  ,則稱  (或  )為局部環。域   稱為  剩餘域

  中僅有有限個極大理想,則稱之為半局部環

一個局部環   上帶有一個自然的  -進拓撲,使得   成為拓撲環;其開集由   生成。當  諾特環時,可證明   為豪斯多夫空間,且所有理想皆是閉理想。

  為局部環,環同態   被稱為局部同態,若且唯若  

例子编辑

  • 是局部環。
  • 形式冪級數環   是局部環,其中   是個域。極大理想是  
  • 取係數在   上,原點附近收斂半徑為正的冪級數,它構成一個局部環,極大理想表法同上。
  • 賦值環皆為局部環。
  •   為任意交換環,   為素理想,則相應的局部化   是局部環;這也是局部環應用的主要場合。若   已是局部環,則  
  • 局部環的商環仍是局部環。

動機與幾何詮釋编辑

局部環意在描述一個點附近的函數「芽」。設   為拓撲空間,  ,且 。考慮所有資料  ,其中    的一個開鄰域,而   是連續函數。引入等價關係:

    的開鄰域。

換言之,若兩個函數在   附近一致,則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環  ,其元素稱作在  連續函數芽,它體現了連續函數在   附近的行為。若   滿足   ,則存在一個   的開鄰域   及連續函數  ,使得    恆非零,因此可定義乘法逆元  。於是   是局部環,其唯一的極大理想是所有在   點取零的函數,剩餘域則是  

類似想法可施於微分流形解析流形複流形,稍作修改後亦可推廣至代數簇概形

在代數幾何與複幾何中,假設適當的有限性條件(例如凝聚性), 若一陳述對某一點的芽成立,則在該點的某個開鄰域上皆成立;就此而論,局部環集中表現了一點附近的局部性質

交換代數中,局部化的技術往往可將問題化約到局部環上;因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。

非交換的情形编辑

一個含么環   被稱作局部環,若且唯若它滿足下述等價條件:

  • R 僅有一個極大左理想。
  • R 僅有一個極大右理想。
  •  ,且任兩個非可逆元的和仍為非可逆元。
  •  ,且對任何元素     必有一者可逆。
  •  ,若   中某個有限和是可逆元,則其中某項必可逆。

當上述任一性質成立,則下述三者等同:

  • R 的唯一極大左理想
  • R 的唯一極大右理想
  • R 的 Jacobson根

對於交換環,上述定義化為交換局部環的原始定義。

文獻编辑