平行軸定理

平行軸定理(英語:parallel axis theorem)能夠很簡易地,從剛體對於一支通過質心的直軸(質心軸)的轉動慣量,計算出剛體對平行於質心軸的另外一支直軸的轉動慣量。

假設z'-軸平行於質心軸,則剛體對於z'-軸的轉動慣量可以從鋼體對於質心軸的轉動慣量計算出來。
面積慣性矩的平行軸定理

代表剛體對於質心軸的轉動慣量、 代表剛體的質量、 代表另外一支直軸 z'-軸與質心軸的垂直距離。那麼,對於 z'-軸的轉動慣量是

平行軸定理、垂直軸定理伸展定則,這些工具都可以用來求得許多不同形狀的物體的轉動慣量。

平行軸定理也可以應用於面積二次矩(面積慣性矩):

這裏, 是對於 z-軸的面積慣性矩、 是對於平面質心軸的面積慣性矩、 是面積、 是 z-軸與質心軸的垂直距離。

雅各·史丹納 (Jakob Steiner) 而命名,史丹納定理所指的幾個理論,其中一個理論就是平行軸定理。

進階理論编辑

平行軸定理能夠很簡易的,從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量,轉換至另外一個平行的座標系統。

對於三維空間中任意一参考點 Q 與以此参考點為原點的直角座標系 Qxyz ,一個剛體的慣性張量  

 

這裏,對角元素     分別為對於 x-軸、y-軸、z-軸的慣性矩。設定   為微小質量   對於點 Q 的相對位置。則這些慣性矩,可以精簡地用方程式定義為

 
 
 

而非對角元素,稱為慣性積, 可以定義為

 
 
 

假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量   ,質心 G 的位置是   ,則剛體對於原點 O 的慣性張量   ,依照平行軸定理,可以表述為

 
 
 
 
 
 

證明:

 
慣性張量的平行軸定理

a) 參考右圖 ,讓    分別為微小質量   對質心 G 與原點 O 的相對位置:

  

依照慣性張量的慣性矩定義方程式,

 
 

所以,

 

相似地,可以求得    的方程式。

b) 依照慣性張量的慣性積定義方程式 ,

 
 

因為    ,所以

 

相似地,可以求得對於點 O 的其他慣性積方程式。

實例编辑

 
實心長方體:a)座標系統的原點在質心。b)座標系統的原點在角落。

思考一個實心長方體對於質心 G 的慣性張量,

 

如圖右,質心 G 的位置是   。依照平行軸定理,實心長方體對於點 O 的慣性矩與慣性積分別為

 
 
 
 
 
 

因此,實心長方體對於點 O 的慣性張量是

 

參閱编辑

參考文獻编辑

  • Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8

外部連結编辑