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在数学中,集合上的(英語:join)可以用两种方式定义:关于这个集合上的偏序的唯一上确界(最小上界),假定这种上确界存在的话;或者是满足幂等律交换结合二元运算。在任何一个情况下,这个集合与并运算一起是并半格。两个定义生成等价的结果,除了偏序方式有可能直接的定义更一般的元素的集合的并之外。最常见到并运算的领域是

的并通常被指示为

偏序定义编辑

A 是带有偏序   的一个集合,并设   A 中的两个元素。A 中的一个元素     的并(或最小上界或上确界),如果满足下列两个条件:

  1.    (就是说,    的一个上界)
  2. 对于 A 中任何  ,使得   ,有着   (就是说,  小于任何其他    的上界)。

如果    有并,则实际上它是唯一的,因为如果    都是    的最小上界,则  ,因此确实  。如果并存在,它被指示为  A 中的某些对元素可能缺乏并,要么因为它们根本就没有上界,要么因为它们的上界没有一个小于所有其他的。如果所有的元素对都有并,则这个交实际上是在 A 上的二元运算,并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对于 A 中任何元素  ,   

  1. 交换律 
  2. 结合律 
  3. 幂等律 

泛代数定义编辑

通过定义,在集合 A 上的二元运算   是并,如果它满足上述三个条件 a, bc。有序对 (A, ) 就是并半格。此外,我们可以定义在 A 上的二元关系  ,通过声称   当且仅当  。事实上,这个关系是在 A 上的偏序。实际上,对于 A 中任何元素  ,   

 ,因为  ,通过公理 c
如果   ,则  ,通过公理 a
如果   ,则  ,因为  ,通过公理 b

两个定义的等价性编辑

如果 (A, ) 是偏序集合,使得 A 中每对元素都有并,则确实   当且仅当  ,因为在后者情况下   的确是    的上界,并且因为明显的   是最小上界当且仅当它是上界。因此,以泛代数方式的并定义的偏序一致于最初的偏序。

反过来说,如果 (A, ) 是并半格,并用泛代数的方式定义偏序  ,对于 A 中某些元素    ,则     关于   的最小上界,因为  ,类似的  ,并且如果     的另一个上界,则  ,因而  。所以最初的并定义的偏序定义的并一致于最初的并。

换句话说,这两种方式生成本质上等价的概念,集合配备了二元关系和二元运算二者,使得每个结构都有另一个确定,而且分别满足关于偏序或并的那些条件。

一般子集的并编辑

如果 (A, ) 是并半格,则并可以被扩展为任何非空有限集合的良好定义的并,通过在迭代二元运算中描述的技术。可作为替代的,并定义或定义自偏序,A 的某个子集的确有关于它的上确界。对于非空有限子集,这两种方式生成同样的结果,因此任何一个都可以作为并的定义。在 A 的每个子集都有并的情况下,实际上 (A, ) 是完全格;详情请参见完全性 (序理论)

参见编辑