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等比数列,又称几何数列。是一种特殊数列。它的特点是:从第二项起,每一项与前一项的都是一个常数。

例如數列 。 这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于的比也等于。如这样后一项与前一项的比称公比,符号为r。

公式编辑

等比公式编辑

根据等比数列的定义可得:

 

通项公式编辑

可以任意定义一个等比数列 

这个等比数列从第一项起分别是 ,公比为r,则有:

 
 
 
 

以此可推得,等比数列 的通项公式为:

 

求和公式编辑

对上所定义的等比数列 的所有项累加。

 称为等比数列的和或等比级数,记为 

如果该等比数列的公比为 ,则有:

 
 (利用等比数列通项公式)……(1)

先将两边同乘以公比q,有:

 ……(2)

(1)式减去(2)式,有:

 ……(3)

然后进行讨论:当 时, ;而当 时,由(3)式无法解得通项公式。

但可以发现,此时:

 
 
 
 

综上所述,等比数列 的求和公式为:

 

经过推导,可以得到另一个求和公式:当 时,

 

當-1<q<1時,等比數列無限項之和编辑

由於當  的值不斷增加時, 的值便會不斷減少而且趨於 ,因此無限項之和為:

 

性质编辑

如果数列 是等比数列,那么有以下几个性质:

  •  
证明:当 时, 
  • 对于 ,若 ,则 
证明: 
 
 
  • 等比中项:在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列 中有三项 ,其中 ,则有 
  • 在原等比数列中,每隔  取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列。
  •  成等比数列,則 也成等比数列。

参见编辑