在这一节中,
s
(
x
)
{\textstyle s(x)}
表示实变量
x
{\textstyle x}
的一个函数,且
s
{\textstyle s}
在
[
x
0
,
x
0
+
P
]
{\textstyle [x_{0},x_{0}+P]}
上可积,
x
0
{\textstyle x_{0}}
和
P
{\displaystyle P}
为实数。我们将尝试用谐波关系的正弦函数的无穷和或级数 来表示该区间内的
s
{\textstyle s}
。在区间外,级数以
P
{\displaystyle P}
为周期(频率为
1
/
P
{\displaystyle 1/P}
)。若
s
{\textstyle s}
也具有该性质,则它的近似在整个实数线上有效。我们可以从有限求和(或部分和 )开始,以下星号表示共轭复数 :
s
N
(
x
)
=
A
0
2
+
∑
n
=
1
N
A
n
⋅
sin
(
2
π
n
x
P
+
ϕ
n
)
,
for integer
N
≥
1.
{\displaystyle s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \sin({\tfrac {2\pi nx}{P}}+\phi _{n}),\quad \scriptstyle {\text{for integer}}\ N\ \geq \ 1.}
s
N
(
x
)
{\displaystyle s_{N}(x)}
为周期为 P 的周期函数。运用恒等式:
sin
(
2
π
n
x
P
+
ϕ
n
)
≡
sin
(
ϕ
n
)
cos
(
2
π
n
x
P
)
+
cos
(
ϕ
n
)
sin
(
2
π
n
x
P
)
{\displaystyle \sin({\tfrac {2\pi nx}{P}}+\phi _{n})\equiv \sin(\phi _{n})\cos({\tfrac {2\pi nx}{P}})+\cos(\phi _{n})\sin({\tfrac {2\pi nx}{P}})}
sin
(
2
π
n
x
P
+
ϕ
n
)
≡
Re
{
1
i
⋅
e
i
(
2
π
n
x
P
+
ϕ
n
)
}
=
1
2
i
⋅
e
i
(
2
π
n
x
P
+
ϕ
n
)
+
(
1
2
i
⋅
e
i
(
2
π
n
x
P
+
ϕ
n
)
)
∗
,
{\displaystyle \sin({\tfrac {2\pi nx}{P}}+\phi _{n})\equiv {\text{Re}}\left\{{\frac {1}{i}}\cdot e^{i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}+\phi _{n}\right)}\right\}={\frac {1}{2i}}\cdot e^{i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}+\phi _{n}\right)}+\left({\frac {1}{2i}}\cdot e^{i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}+\phi _{n}\right)}\right)^{*},}
函数 s (x ) (红色)是六个不同幅度的谐波关系的正弦函数的和。它们的和叫做傅里叶级数。傅里叶变换 S (f ) (蓝色),针对幅度与频率进行描绘,显示出6种频率和它们的幅度。
我们还可以用这些等价形式书写这个函数:
s
N
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
N
(
a
n
⏞
A
n
sin
(
ϕ
n
)
cos
(
2
π
n
x
P
)
+
b
n
⏞
A
n
cos
(
ϕ
n
)
sin
(
2
π
n
x
P
)
)
=
∑
n
=
−
N
N
c
n
⋅
e
i
2
π
n
x
P
,
{\displaystyle {\begin{aligned}s_{N}(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left(\overbrace {a_{n}} ^{A_{n}\sin(\phi _{n})}\cos({\tfrac {2\pi nx}{P}})+\overbrace {b_{n}} ^{A_{n}\cos(\phi _{n})}\sin({\tfrac {2\pi nx}{P}})\right)\\&=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}},\end{aligned}}}
其中:
c
n
=
d
e
f
{
A
n
2
i
e
i
ϕ
n
=
1
2
(
a
n
−
i
b
n
)
for
n
>
0
1
2
a
0
for
n
=
0
c
|
n
|
∗
for
n
<
0.
{\displaystyle c_{n}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\begin{cases}{\frac {A_{n}}{2i}}e^{i\phi _{n}}={\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})&{\text{for }}n>0\\{\frac {1}{2}}a_{0}&{\text{for }}n=0\\c_{|n|}^{*}&{\text{for }}n<0.\end{cases}}}
当系数(即傅里叶系数 )以下面方式计算时:[2]
s
N
(
x
)
{\displaystyle s_{N}(x)}
在
[
x
0
,
x
0
+
P
]
{\displaystyle [x_{0},\ x_{0}+P]}
近似了
s
(
x
)
{\displaystyle s(x)}
,该近似程度会随着 N → ∞ 逐渐改善。这个无穷和
s
∞
(
x
)
{\displaystyle s_{\infty }(x)}
叫做
s
{\displaystyle s}
的傅里叶级数 表示。在工程 应用中,一般假定傅里叶级数除了在不连续点以外处处收敛,原因是工程上遇到的函数比数学家提供的这个假定的反例表现更加良好。特别地,傅里叶级数绝对收敛且一致收敛于 s (x ),只要在 s (x ) 的导数(或许不会处处存在)是平方可积的。[3] 如果一个函数在区间 [x0 , x0 +P]上是平方可积的 ,那么此傅里叶级数在几乎所有 点都收敛于该函数。傅里叶级数的收敛性取决于函数有限数量的极大值和极小值,这就是通常称为傅里叶级数的狄利克雷条件 。参见傅里叶级数的收敛性 之一。对于广义函数或分布也可以用范数或弱收敛 定义傅里叶系数.
另一个分别采用傅里叶级数的前 1, 2, 3, 4 项近似方波的可视化。(可以在这里 看到一个交互式的动画)
例1:一个简单的傅里叶级数 编辑
我们现在用上面的公式给出一个简单函数的傅里叶级数展开式。考虑一个锯齿波
s
(
x
)
=
x
π
,
f
o
r
−
π
<
x
<
π
,
{\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}
s
(
x
+
2
π
k
)
=
s
(
x
)
,
f
o
r
−
∞
<
x
<
∞
and
k
∈
Z
.
{\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\infty <x<\infty {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}
在这种情况下,傅里叶级数为
a
n
=
1
π
∫
−
π
π
s
(
x
)
cos
(
n
x
)
d
x
=
0
,
n
≥
0.
b
n
=
1
π
∫
−
π
π
s
(
x
)
sin
(
n
x
)
d
x
=
−
2
π
n
cos
(
n
π
)
+
2
π
2
n
2
sin
(
n
π
)
=
2
(
−
1
)
n
+
1
π
n
,
n
≥
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\b_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}
可以证明,当 s 可微时,傅立叶级数在每个点 x 都收敛于 s (x ),于是:
s
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
[
a
n
cos
(
n
x
)
+
b
n
sin
(
n
x
)
]
=
2
π
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
sin
(
n
x
)
,
f
o
r
x
−
π
∉
2
π
Z
.
{\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbf {Z} .\end{aligned}}}
(Eq.1 )
当 x = π 时,傅里叶级数收敛于 0,为在 x = π 处 s 的左极限和右极限之和的一半。这是傅里叶级数的狄利克雷定理 的特例。
这个例子为我们引出了巴塞尔问题 的一种解法。
例2:傅里叶诱导 编辑
例1中我们的函数的傅里叶级数展开式看起来不比 s (x ) = x/π 简单,因此人们需要傅里叶级数的原因也就不会立即显现出来。但还有很多应用,我们举用傅里叶诱导解热方程式的例子。考虑边长为 π 米的方形金属版,坐标为 (x , y ) ∈ [0, π ] × [0, π ]。如果板内没有热源,并且四个边中三个都保持在 0 摄氏度,而第四条边 y = π,对于 x 属于 (0, π ),保持在温度梯度 T (x , π ) = x 摄氏度,于是可以证明稳态热分布(或者说在很长一段时间过去后的热分布)为
T
(
x
,
y
)
=
2
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
sin
(
n
x
)
sinh
(
n
y
)
sinh
(
n
π
)
.
{\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}
这里,sinh 为双曲正弦 函数。热方程的这个解是通过将 Eq.1 的每一项乘以 sinh(ny )/sinh(n π) 得到的。我们示例的函数 s (x ) 的傅里叶级数似乎很复杂,热分布 T (x , y ) 是非平凡的。函数 T 不能写成解析解 。用傅里叶的方法却可以求解这个热分布问题。
希尔伯特空间的解读 编辑
正弦和餘弦形成了正交集合。正弦、餘弦及其乘積的積分,當
m 與
n 不同或二函數不同時是0(綠色和紅色區域相等抵消),僅當
m 和
n 相等並且函數相同時為π。
所谓的两个不同向量 正交是指它们的内积 为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧氏空间中,互相垂直的向量之间是正交的。事实上,正交是垂直在数学上的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关 的,所以必然可以张成一个n维空间,也就是说,空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。
在希爾伯特空間 釋義下,函數的集合{en = einx ; n ∈ Z }是[−π, π]平方可積函數L 2 ([−π, π])的正交基 。這個空間實際上是一個希爾伯特空間,有著針對任何兩個的元素f 和g 的如下內積:
⟨
f
,
g
⟩
=
d
e
f
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
g
(
x
)
¯
d
x
.
{\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.}
三角函数族的正交性用公式表示出来就是:
∫
−
π
π
cos
(
m
x
)
cos
(
n
x
)
d
x
=
π
δ
m
n
,
m
,
n
≥
1
,
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,\,}
∫
−
π
π
sin
(
m
x
)
sin
(
n
x
)
d
x
=
π
δ
m
n
,
m
,
n
≥
1
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}
(這裡的δmn 是克羅內克函數 ),而
∫
−
π
π
cos
(
m
x
)
sin
(
n
x
)
d
x
=
0
;
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx=0;\,}
至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件,但是对于实际问题中出现的函数,有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性 。在闭区间上满足狄利克雷 条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下:
在定义区间上,x(t)须绝对可积 ;
在任一有限区间中,x(t)只能取有限个极值点;
在任何有限区间上,x(t)只能有有限个第一类间断点 。 满足以上条件的x(t)傅里叶级数都收敛,且:
1.当t是x(t)的连续点时,级数收敛于x(t);
2.当t是x(t)的间断点时,级数收敛于
1
2
[
x
(
t
−
)
+
x
(
t
+
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{2}}[x(t^{-})+x(t^{+})]}
. 1966年,里纳特·卡尔松 证明了勒贝格二次可积 函数的傅立叶级数一定是几乎处处收敛的,即级数在除了一个勒贝格零测集外均收敛。
吉布斯现象 :在x(t)的不可导 点上,如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t),那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号 。