普朗歇尔定理

在数学中， 普朗歇尔定理（有时称为 Parseval-Plancherel 恒等式 ）是调和分析的一个结果，它由米歇爾·普朗歇爾于1910年证明。它指出一个函数的模的平方的积分等于其频谱的模平方的积分。也就是说，如果 $f(x)$ 是实轴上的函数，且有频谱 ${\widehat {f}}(\xi )$ ，那么

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi$

更精确的表述是，如果一个函数同时在 L^p 空间 $L^{1}(\mathbb {R} )$ 和 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 中，那么它的傅里叶变换也在 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 中，且傅里叶变换是关于 $L^{2}$ 范数的等距映射。这意味着， $L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )$ 上的傅里叶变换可以唯一地扩张为一个 $L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )$ 的等距同构 ，后者有时称为普朗歇尔变换。这个等距同构实际上是一个幺正映射。实际上，这使得平方可积函数的傅里叶变换成为可能。

普朗歇尔定理在 n 维欧几里德空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 上仍然有效 。更一般地，该定理对局部紧阿贝尔群也成立。对于满足某些技术上的假定的非交换局部紧群，还有另一个版本的普朗歇尔定理。这是非交换调和分析的主题。

傅里叶变换的幺正性在科学和工程领域通常被称为帕塞瓦尔定理，该定理基于一个用于证明傅里叶级数幺正性的早期结果（但不那么具有一般性）。

借助极化恒等式，我们还可以将普朗歇尔定理用于计算 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 中两个函数的内积。也就是说，设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 中的函数，而 ${\mathcal {P}}$ 表示普朗歇尔变换，则

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,$$

若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 还是 $L^{1}(\mathbb {R} )$ 函数，那么还有

$$({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$$

和

$$({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$$

于是有

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .$

参考文献

• Plancherel, Michel, Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1910, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877 .
• Dixmier, J., Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier Villars, 1969 .
• Yosida, K., Functional Analysis, Springer Verlag, 1968 .

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Plancherel theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Plancherel's Theorem on Mathworld