非交换调和分析

数学中,非交换调和分析傅里叶分析的结果推广到非交换拓扑群[1]由于局部紧阿贝尔群有很好理解的理论——庞特里亚金对偶性,其中包括傅里叶级数傅里叶变换的基本结构,因此非交换调和分析的主要任务一般认为是将其推广到所有局部紧G。1920年代提出彼得-魏尔定理后,紧群情形被定性地理解为与有限群及其特征标理论大致相似。

因此,有局部紧、非紧、非交换的群G的情形。有趣的例子如很多李群P进数域上的代数群。这些例子在数学物理和当代数论(尤其是自守表示)中有广泛应用。

约翰·冯·诺伊曼的基础成果是众所周知的,他指出,若G冯诺依曼群代数属于I型,则作为G幺正表示是不可还原表示的直积分。因此,其参数是幺正对偶,即此种表示的同构类集合,被赋予了壳-核拓扑(hull-kernel topology)普朗歇尔定理的类似定理抽象地给出了幺正对偶上的一个测度,即普朗歇尔测度,与之相关的是直积分(对于庞特里亚金对偶性而言,普朗歇尔测度是G的对偶群商的某个哈尔测度,因此唯一的问题是其归一化(normalization))。对于一般的局部紧群,甚至可数离散群,冯诺依曼群代数不一定是I型的,G的正则表达(regular representation)不能写成不可还原表示,即便它是幺正、完全可约的。这种情况的例子是无限对称群,当中冯诺依曼群代数是超无限型II1因子。进一步的理论将普朗歇尔测度分为离散和连续两部分。对于半单群可解李群,有非常详尽的理论。[2]

另见

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参考文献

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  • "Noncommutative harmonic analysis: in honor of Jacques Carmona", Jacques Carmona, Patrick Delorme, Michèle Vergne; Publisher Springer, 2004 ISBN 0-8176-3207-7 [3]
  • Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.

注释

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  1. ^ Gross, Kenneth I. On the evolution of noncommutative harmonic analysis. Amer. Math. Monthly. 1978, 85 (7): 525–548 [2024-04-06]. JSTOR 2320861. doi:10.2307/2320861. (原始内容存档于2024-02-12). 
  2. ^ Taylor, Michael E. Noncommutative Harmonic Analysis. August 1986 [2024-04-06]. ISBN 9780821873823. (原始内容存档于2024-04-06). 
  3. ^ Noncommutaive Harmonic Analysis: In Honor of Jacques Carmona. [2024-04-06]. (原始内容存档于2024-04-06).