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數學上所謂的自守形式,是一類特別的複變數函數,並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示,嚴格言之,自守表示並非尋常意義下的群表示,而是整體赫克代數上的模。

龐加萊在1880年代曾研究過自守形式,他稱之為富克斯函數郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。

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古典定義编辑

  為作用於複區域   的離散群。取定自守因子    。相應的權   自守形式  上滿足下述函數方程全純函數

 

自守因子    固定時是   上的全純函數,並且是   上的 1-閉上鏈

定義中的複值函數   可推廣成取值為矩陣的函數;權   的限制亦可放鬆,例如半整數  

群上的定義编辑

自守形式另有群表示理論的詮釋,並牽涉數論,但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見,以下設  ,其中心可等同於  

考慮整體域  (例如  ),由此定義  阿代爾點  ,賦予相應的拓撲結構,並取定標準的緊子群  

固定一擬特徵  。以  中心特徵的自守形式定為   上滿足下列條件的複值函數  

  1.   光滑:若  函數域,這代表   是局部常數函數。否則意謂存在一組  開覆蓋  ,對每個   ,而   無窮可微。
  2. 对任何  及任何  ,总有  
  3.   -有限:函數   張成有限維向量空間。
  4. 承上,設  泛包絡代數   之中心,則   -有限。
  5. 緩增性:固定適當的高度函數  (取法不影響定義),存在常數    使得  

註記.  阿基米德賦值,條件二中張出的空間在李代數   的作用   下不變。條件三蘊含自守形式對阿基米德賦值是解析函數

若對所有   皆有

 

則稱  尖點形式

自守表示编辑

定義   為中心特徵為   的自守形式集,子空間   則為尖點形式集。

這兩個空間是有限阿代爾群   的表示;對阿基米德賦值則帶有  -模結構。此套結構可以概括為整體赫克代數   的表示。注意:它們並非   的表示!

一個自守表示 -模  子商  稱作該自守表示的中心擬特徵。尖點自守表示  之子空間。

参考文献编辑