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代数中,赋值元素的(多少)或元素重复度一个度量。推广到交换代数,就是对复分析极点零点重复度度量,推广到代数数论中的代数整数整性的度量,在代数几何中也有类似概念,一个域与它的赋值被称为赋值域

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定義编辑

一個 上取值在有序交換群Γ的賦值是從 到Γ的映射 ,滿足下述性質:

  •  (即: 是群同態)
  •  

Γ稱作 值群

兩個賦值 被稱作等價的,若且唯若存在有序交換群的同構 使得 

為了操作上的便利,我們通常會將 的值域擴至 ,並設 

p進賦值编辑

p為正質數。對於所有非有理數,存在一且唯一一個整數 使得   ,其中 均非 的倍數。p進賦值就是函數  。它給出一個p進絕對值  ,定義為

   
 

p進賦值是個非阿基米得賦值。其值群是  

例子编辑

  •  緊黎曼曲面 為其上的亞純函數域。固定一點 。定義   的重根數,便得到 上的賦值,其值群為 。對於高維情形則須考慮其因子,但此時需考慮點的拉開,狀況較複雜。扎里斯基正是為了研究代數曲面而開始研究賦值論。
  • 上述構造亦可套用到定義在任意域上的代數曲線
  • 利用函數域數域的類比,可在 上考慮p進賦值。根據奥斯特洛夫斯基定理 上的任意賦值皆等價於某個p進賦值。

參見编辑

参考文献编辑

  • Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
  • Jacobson, Nathan, Valuations: paragraph 6 of chapter 9, Basic algebra II 2nd, New York: W. H. Freeman and Company, 1989 [1980], ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001 . A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
  • Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976 [1960], ISBN 978-0-387-90171-8 

扩展阅读编辑