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欧拉公式

欧拉公式英语:Euler's formula,又稱尤拉公式)是複分析领域的公式,它将三角函数指数函数关联起来,因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。欧拉公式提出,對任意实数 ,都存在

其中 自然对数的底数虚数,而 則是餘弦、正弦對應的三角函数,参数 則以弧度为单位。這一複數指數函數有時還寫作 cis x英语:cosine plus i sine,余弦加i 乘以正弦)。由於該公式在 複數時仍然成立,所以也有人將這一更通用的版本稱為欧拉公式[1]

欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼将欧拉公式称为:“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”[2]

时,欧拉公式变为 ,即欧拉恒等式

目录

历史编辑

約翰·白努利注意到有[3]

 

因此

 

上述公式通过把自然对数和复数(虚数)联系起来,告诉我们关于複對數的一些信息。然而伯努利并没有计算出这个积分。

欧拉也知道上述方程,伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数。欧拉指出复对数可以有无穷多个值。

与此同时,罗杰·柯特斯英语Roger Cotes于 1714 年发现[4]

 

由于三角函数的周期性,一个复数可以加上 2iπ 的不同倍数,而它的复对数可以保持不变。

1740 年左右,欧拉把注意力从对数转向指数函数,得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到,于1748 年发表[5][4]

大约 50 年之后,卡斯帕尔·韦塞尔提出可以把复数視做复平面中的点。

形式编辑

对于任意实数 ,以下等式恆成立:

 

由此也可以推导出   。当 时,欧拉公式的特殊形式为 

cis函數编辑

在複分析領域,歐拉公式亦可以以函數的形式表示

 
 

並且一般定義域 ,值域為 (复平面上的所有单位向量)。

當一複數的模為1,其反函數就是輻角arg函數)。

 值為複數時,cis函數仍然是有效的,所以有些人可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。[6]

证明编辑

方法一:泰勒级数
把函数   写成泰勒级数形式:
 
 
 
 代入 可得:
 
方法二:求導法

对于所有 ,定義函數 

由於 

可知 不可能為0,因此以上定義成立。

 之导数為:

 

  

 拉格朗日中值定理
 
 
 

因此 必是常數函數

 
 

重新整理,即可得到:

 
方法三:微積分

找出一個函數,使得  

 
 
 
 

如果使用積分法, 的原函數是以上兩個函數。

 時,原函數的值相等,所以以上兩個函數相等。

 

證明和角公式编辑

由於  ,則有

 

實部等於實部,虛部等於虛部,因此

 
 

在複變分析的應用编辑

這公式可以說明當 實數時,函數 可在複數平面描述一單位圓。且 為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角。先前一個在複數平面的複點只能用笛卡尔坐标系描述,歐拉公式在此提供複點至極坐標的變換

任何複數 皆可記為

 
 

在此

 為實部
 為虛部
 z
 ,其中 

參見编辑

参考资料编辑

  1. ^ Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X. 
  2. ^ Feynman, Richard P. The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. 1977: 22-10. ISBN 0-201-02010-6. 
  3. ^ Bernoulli, Johann. Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul [Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702, 1702: 197–289. 
  4. ^ 4.0 4.1 John Stillwell. Mathematics and Its History. Springer. 2002. 
  5. ^ Leonard Euler (1748) Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle of Introduction to the Analysis of the Infinite, page 214, section 138 (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths).
  6. ^ Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X.