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cis函數示意圖
一個可以代表cis函數的圖形,藍色是實數部、橘色是虛數部。
cis函數
Cis function.png
性質
奇偶性 N/A
定義域 (-∞,∞)
到達域
周期
特定值
當x=0 1
當x=+∞ N/A
當x=-∞ N/A
最大值 複數無法比大小
最小值 複數無法比大小
其他性質
渐近线 N/A
N/A
臨界點 N/A
拐點
不動點 0
k是一個整數.

微积分学中,cis函數又稱純虛數指數函數,是複變函數的一种,和三角函數類似,其可以使用正弦函數餘弦函數來定義,是一種實變數複數值函數英语Complex-valued function,其中i虛數單位,而cis則為cos + i sin的縮寫。

目录

概觀编辑

cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用[1],而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 [2][3] 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號 [3][4] ,其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。

cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式,透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達[1][2][5],例如傅里葉變換和哈特利變換的結合[6][7][8],以及應用在教學上時,因某些因素(如課程安排或課綱需求)因故不能使用指數來表達數學式時,cis函數就能派上用場。

性質编辑

cis函數的定义域是整个实数集值域單位複數絕對值1複數。它是周期函数,其最小正周期为 。其图像关于原点对称。

上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是,就如同三角函數,他也算是一種比值複數和其模的比值:

 ,其中 幅角 複數

因此,當一複數的模為1,其反函數就是幅角arg函數)。

 函數可視為求單位複數的函數

 函數的實數部分和餘弦函數相同。

 
cis函數 定義在複數。圖中,顏色代表幅角,高代表模。

命名编辑

由於 函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」,取其英文縮寫cosine and imaginary unit sine,故以 來表示該函數。

歐拉公式编辑

在數學上,為了簡化歐拉公式 ,因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數,給出了cis函數的定義[9][6][5][10][11][7][8][12]

 

並且一般定義域 ,值域為 

 值為複數時, 函數仍然是有效的,所以有些人可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。[13]

指數定義编辑

跟其他三角函數類似,可以用e指數來表示,依照歐拉公式給出:  

反函數编辑

 的反函數:  ,當代入模為1的複數時,所得的值是其輻角

類似其他三角函數, 的反函數也可以用自然對數來表示

 

當一複數經過符號函數後代入 可得輻角。

恆等式编辑

 函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多

半形公式编辑

 
 

倍角公式编辑

 
 

冪簡約公式编辑

 

相關函數编辑

餘cis函數编辑

 
cocis函數,正好跟cis上下顛倒,周期相同,但是位移了 

就如同三角函數,我們可以令: ,其可用於誘導公式來化簡某些特定的 函數的式子。

至於指數定義,經過正弦和餘弦的指數定義得:

 

有恆等式:

 
 
 
 
 
 
 
 

雙曲cis函數编辑

一般會將雙曲cis函數定義成:

 

定義域值域皆為實數,但若定義雙曲複數

考慮數 ,其中 實數,而量 不是實數,但 是實數。

選取 ,得到一般複數。取 的話,便得到雙曲複數。

雙曲複數有對應的歐拉公式: 

 

其中j為雙曲複數

因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數,相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角

如此一來,值域將會變成四元數

cas函數编辑

cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數,為雷夫·赫特利英语Ralph Hartley於1942提出,其定義為cas(x) := cos(x) + sin(x),是一種實變數實值函數,而cas為「cosine-and-sine」的縮寫,其表示了實數值的赫特利變換英语Hartley transform[14][15]

cas(x) = cos(x) + sin(x)

cas函數存在一些恆等式:

 

角和公式:

 

微分:

 

參見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ 1.0 1.1 Hamilton, William Rowan. II. Fractional powers, General roots of unity. 写于Dublin. (编) Hamilton, William Edwin. Elements of Quaternions. University Press, Michael Henry Gill, Dublin (printer) 1. London, UK: Longmans, Green & Co. 1866-01-01: 250–257, 260, 262–263 [2016-01-17]. […] cos […] + i sin […] we shall occasionally abridge to the following: […] cis […]. As to the marks […], they are to be considered as chiefly available for the present exposition of the system, and as not often wanted, nor employed, in the subsequent practise thereof; and the same remark applies to the recent abrigdement cis, for cos + i sin […]  ([1], [2])
  2. ^ 2.0 2.1 Stringham, Irving. Uniplanar Algebra, being part 1 of a propædeutic to the higher mathematical analysis 1. C. A. Mordock & Co. (printer) 1. San Francisco, US: The Berkeley Press. 1893-07-01: 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 [1891] [2016-01-18]. As an abbreviation for cos θ + i sin θ it is convenient to use cis θ, which may be read: sector of θ. 
  3. ^ 3.0 3.1 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations 2 2 (3rd corrected printing of 1929 issue). Chicago, US: Open court publishing company. 1952: 133 [March 1929] [2016-01-18]. ISBN 978-1-60206-714-1. ISBN 1-60206-714-7. Stringham denoted cos β + i sin β by "cis β", a notation also used by Harkness and Morley.  (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, US, 2013.)
  4. ^ Harkness, James; Morley, Frank. Introduction to the Theory of Analytic Functions 1. London, UK: Macmillan and Company. 1898: 18, 22, 48, 52, 170 [2016-01-18]. ISBN 978-1-16407019-1. ISBN 1-16407019-3.  (NB. ISBN for reprint by Kessinger Publishing, 2010.)
  5. ^ 5.0 5.1 Swokowski, Earl; Cole, Jeffery. Precalculus: Functions and Graphs. Precalculus Series 12 (Cengage Learning). 2011 [2016-01-18]. ISBN 978-0-84006857-6. ISBN 0-84006857-3. 
  6. ^ 6.0 6.1 L.-Rundblad, Ekaterina; Maidan, Alexei; Novak, Peter; Labunets, Valeriy. Fast Color Wavelet-Haar-Hartley-Prometheus Transforms for Image Processing. 写于Prometheus Inc., Newport, USA. (编) Byrnes, Jim. Computational Noncommutative Algebra and Applications (PDF). NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry (NAII) 136. Dordrecht, Netherlands: Springer Science + Business Media, Inc. 2004: 401-411 [2017-10-28]. ISBN 978-1-4020-1982-1. ISSN 1568-2609. doi:10.1007/1-4020-2307-3. (原始内容存档 (PDF)于2017-10-28). 
  7. ^ 7.0 7.1 Kammler, David W. A First Course in Fourier Analysis 2. Cambridge University Press. 2008-01-17 [2017-10-28]. ISBN 978-1-13946903-6. ISBN 1-13946903-7. 
  8. ^ 8.0 8.1 Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. The Fractional Trigonometry: With Applications to Fractional Differential Equations and Science. John Wiley & Sons. 2016-11-14 [2017-10-28]. ISBN 978-1-11913942-3. ISBN 1-11913942-2. 
  9. ^ Weisstein, Eric W. Cis. MathWorld. Wolfram Research, Inc. 2015 [2000] [2016-01-09]. (原始内容存档于2016-01-27). 
  10. ^ Simmons, Bruce. Cis. Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus. Oregon City, OR, US: Clackamas Community College, Mathematics Department. 2014-07-28 [2004] [2016-01-15]. (原始内容存档于2016-01-19). 
  11. ^ Simmons, Bruce. Polar Form of a Complex Number. Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus. Oregon City, OR, US: Clackamas Community College, Mathematics Department. 2014-07-28 [2004] [2016-01-15]. (原始内容存档于2016-01-23). 
  12. ^ Pierce, Rod. Complex Number Multiplication. Maths Is Fun. 2016-01-04 [2000] [2016-01-15]. (原始内容存档于2016-01-15). 
  13. ^ Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X. 
  14. ^ Hartley, Ralph V. L. A More Symmetrical Fourier Analysis Applied to Transmission Problems. Proceedings of the IRE. March 1942, 30 (3): 144–150. doi:10.1109/JRPROC.1942.234333. 
  15. ^ Bracewell, Ronald N. The Fourier Transform and Its Applications 3. McGraw-Hill. June 1999 [1985, 1978, 1965]. ISBN 978-0-07303938-1.