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反函數

对一个定函数做逆运算的函数
函数ƒ和它的反函数ƒ–1。由于ƒ把a映射到3,因此反函数ƒ–1把3映射回到a

數學裡,反函數為對一個定函數做逆運算的函數。精确定义为,設為一函數,其定義域值域。如果存在一函數,其定義域和值域分別為,並對每一有: 則稱的反函數,記之為。注意上標「−1」指的並不是,跟在三角學裡特指平方的不同。 例如,若給定一函數,則其反函數為。 若一函數有反函數,此函數便稱為可逆的

簡單規則编辑

一般而言,當 為一任意函數,且 為其反函數,則  。換句話說,一反函數會取消原函數的作用。在上述例子,可以證明 確為反函數,以將 代入 的方式,如此

 

類似地,也可以將 代入 來證明。

確實, 的反函數 的一等價定義,就是 為於 定義域上的恆等函數,且  值域上的恆等函數。(其中的"o"表示函數複合

存在性编辑

如果一函數 有反函數, 必須是一雙射函數,即:

  • 單射陪域上的每一元素都只被 映射至多一次。
  • 滿射:陪域上的每一元素都必須被 映射到。

不然將沒有辦法對某些元素定義 的反函數。

 為一实函数。若 有一反函數,它必通過水平線測試,即一放在 上的水平線 必對所有實數 ,至多通過一次。換言之,當 位於 的值域時, 恰好通過f圖一次。

性質编辑

  • 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
  • 原函数与其反函数的函数图像关于函数 的图像对称。
  • 严格单调函数一定存在反函数,且反函数与原函数的单调性一致。
  • 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数,例如 

另見编辑