反函數

对一个定函数做逆运算的函数

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在數學裡，反函數，也称为逆函数（英語：Inverse function），為對一個定函數做逆運算的函數。

函数ƒ和它的反函数ƒ^–1。由于ƒ把a映射到3，因此反函数ƒ^–1把3映射回到a。

定义与存在性

設 $f$ 為一函數，其定義域為 $X$ ，陪域為 $Y$ 。如果存在一函數 $g$ ，其定義域和陪域分別為 $Y,\,X$ ，並對任意 $x\in X$ 有 $g(f(x))=x$ 、對任意 $y\in Y$ 有 $f(g(y))=y$ ，則稱解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle g} 為 $f$ 的反函數，記之為 $f^{-1}$ 。^{[註 1]}

若一函數有反函數，便稱此函數可逆。一函數可逆的充分必要条件是该函数为双射，即同时为单射和满射。^[1]

若 $f$ 為一实函数，还可通過水平線測試判断其是否为单射、满射或双射。

与限制的关系

一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。^[2]例如

f:\mathbb {R} \to [0,\infty ),\,f(x)=x^{2}

$f$ 并不是单射，因 $f(1)$ 和 $f(-1)$ 均为 $1$ 。但若取其到 $[0,\infty )$ 上的限制，则这一限制为双射，并拥有反函数

{f_{|_{[0,-\infty )}}}^{-1}(x)={\sqrt {x}}.

反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦、余弦等三角函数具有周期性，如

\sin(x+2\pi )=\sin(x),

这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数，则需要限定其定义域，如反正弦函数通常定义为正弦函数到 $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ 上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域，称作其主值（英语：Principal value）。

性質

原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
原函数与其反函数的函数图像关于函数 $y=x$ 的图像对称。
严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如 $y=x^{-3}$

注释

^ 此种写法易与一个数的 $-1$ 次冪混淆，尤其在三角函数中， $\sin ^{2}(x)$ 表示 $\sin(x)$ 的平方，但 $\sin ^{-1}(x)$ 表示反正弦在 $x$ 处的值，而非 ${\frac {1}{\sin(x)}}$ 。

参考资料

^ Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30 [2023-12-29]. ISBN 978-1-4471-0619-7. （原始内容存档于2023-12-29）.
^ Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4.

另見

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