模

此条目的主題是抽象代数中的概念。关于“模”的其他含义，請見「模 (消歧义)」。

在數學的抽象代數中，環上的模（英語：module）是對體上的向量空間的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體，進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群的推廣，因為交換群與整數環上的模相同。

因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的和分配律的。

模與群的表示論密切相關。模也是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛地應用于代數幾何和代數拓撲中。

定義

假設 $R$ 是環(ring)且 $1_{R}\in R$， $1_{R}$ 是其乘法運算的單位元素。左R-模包括一個交換群 $(M,+)$ ，以及一個映射(或運算)

$\cdot :R\times M\rightarrow M$

(該運算叫做純量乘法或數積，對 $r\in R$ 及 $x\in M$ ，此運算的值 $\cdot (r,x)$ 會記作 $rx$ 或是 $r\cdot x$) ，並且滿足以下條件

對所有 $r,s\in R$ ， $x,y\in M$

1. $(r\cdot s)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)$
2. $r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$
3. $(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$
4. $1_{R}\cdot x=x.$

有數學家的左模定義並不要求環有單位乘法元素 $1_{R}$ ，所以他們的定義只含以上前三個條件而排除了第四個條件，並把以上的定義稱為"帶單位元( $1_{R}$ )的左模"。

左R-模 $M$ 記作 $_{R}M$ ，類似的右R-模 $M$ 記作 $M_{R}$ 。

右R-模 $M$ 或 $M_{R}$ 與左R-模的定義相似，只是環的元素在右邊，即其純量乘法是 $\cdot :M\times R\rightarrow M$ 。在左R-模的定義中，環的元素 $r$ 和 $s$ 是在 $M$ 的元素 $x$ 的左邊。若 $R$ 是可交換環，則左R-模與右R-模是一樣的，簡稱為R-模。

若 $R$ 是一個域，則根據上述定義，R-模滿足R-向量空間的定義。因此模是向量空間的推廣，有很多與向量間相同的性質，但一般模不存在基底。

例子

• 所有交換群 $M$ 是一個在整數環 $\mathbb {Z}$ 上的模，對 $n\in \mathbb {Z}$ 及 $x\in M$，如果 $n>0$ ，其純量乘法定義為是 $nx=x+x+\dots +x$ （ $n$ 個 $x$ 相加），如果 $n=0$ ， $0x=x$ ，對 $n<0$ ， $(-n)x=-(nx)$ 。
• 若 $R$ 是一個環而 $n$ 是一個自然數，則 $R^{n}$ 是一個R-模。
• 若 $X$ 是一個光滑流形，則所有由 $X$ 映射至實數的光滑函数 $C^{\infty }(X)$ 是一個環 $R$ 。在 $X$ 上的所有向量場組成一個R-模。
• 所有 $n\times n$ 實數矩陣 $A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )$ 與矩陣加法和矩陣乘法組成一個環 $R$ 。 歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 是一個左R-模，當中矩陣 $A$ 與向量 $v\in \mathbb {R} ^{n}$ 之間的純量乘法就是矩陣乘法 $Av$ 。
• 若 $R$ 是一個環而 $I$ 是其中一個 左理想 ，則 $I$ 是一個左R-模。

子模及同態

假設 $M$ 是左 $R$ -模， $N$ 是 $M$ 的子集。如果對於所有 $n\in N$ 及 $r\in R$ ，乘積 $rn\in N$ （對右模，則考慮 $nr$ ），則 $N$ 是 $_{R}M$ 的子模（或更準確地，R-子集）。

令 $M$ 和 $N$ 為兩個左R-模， $f$ 為它們之間的一個映射， $f:M\rightarrow N$。若對所有 $m,n\in M$ 及 $r,s\in R$ ， $f(rm+sn)=rf(m)+sf(n)$ ，則$f$ 為R-模同態。與其他類型的同態一樣，模同態保存了模的結構。

其他定義及表達法

若M是左R-模，則一個R中元素r之作用定義為映射M → M，它將每個x映至rx（或者在右模的情況是xr），這必然是阿貝爾群（M,+）的群自同態。全體M的自同態記作End_Z(M)，它在加法與合成下構成一環，而將R的元素r映至其作用則給出從R至End_Z(M)之同態。

如此的環同態R → End_Z(M)稱作R在阿貝爾群M上的一個表示。左R-模的另一種等價定義是：一個阿貝爾群M配上一個R的表示。

一個表示稱作忠實的，若且唯若R → End_Z(M)是單射。以模論術語來說，這意謂若r是R的元素，且使得對所有M中的x都有rx=0，則r=0。任意阿貝爾群皆可表成整數環Z或其某一商環Z/nZ的忠實表示。