# 基 (線性代數)

（重定向自基底

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$

## 定义

• ${\displaystyle s_{0}=v_{0}}$
• 對所有的 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{i+1}=s_{i}+v_{i}}$

${\displaystyle {\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  稱為 ${\displaystyle {\left\{v_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 級數

${\displaystyle \sum _{k=0}^{i}v_{k}}$

${\displaystyle v_{0}+v_{1}+\cdots +v_{i}}$

### Hamel基

Hamel基的定義 — ${\displaystyle \mathrm {V} }$  是定义在 ${\displaystyle K}$ （也就是标量的母空間，如实数系 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数系 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ）上的向量空间，如果 ${\displaystyle \mathrm {V} }$  的子集 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$  满足：

1. ${\displaystyle 0_{V}\notin {\mathfrak {B}}}$  （也就是零向量不會在 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$  裡）
2. ${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$ ${\displaystyle v\neq 0_{V}}$ ，則存在唯一的一組相異向量 ${\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B}}}$  和唯一的一組非零标量 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}$  使得 ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot e_{1}+\lambda _{2}\cdot e_{2}+\cdots +\lambda _{n}\cdot e_{n}=v}$

 线性无关(linear independence) 對任意相異的${\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B}}}$  和任意的 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}$ ，若 ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot e_{1}+\lambda _{2}\cdot e_{2}+\cdots +\lambda _{n}\cdot e_{n}=0_{V}}$ ，则${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\ldots =\lambda _{n}=0_{K}}$ 生成律(spanning property) 对任意${\displaystyle v\in \mathrm {V} }$ ，存在相異向量 ${\displaystyle e_{1},\,e_{2},\,\ldots ,\,e_{n}\in {\mathfrak {B}}}$ 和标量 ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\in K}$  使得 ${\displaystyle \lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}=v}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{l}(\alpha _{i}-a_{i})\cdot w_{i}+\sum _{j=1}^{n-l}\beta _{j}\cdot v_{j}+\sum _{k=1}^{m-l}(-b_{k})\cdot u_{k}=0_{V}}$

${\displaystyle \alpha _{1}-a_{1}=\alpha _{2}-a_{2}=\cdots =\alpha _{l}-a_{l}=0_{K}}$
${\displaystyle \beta _{1}=\beta _{2}=\cdots =\beta _{n-l}=0_{K}}$
${\displaystyle b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{m-l}=0_{K}}$

### Schauder基

Schauder基的定義 — ${\displaystyle \mathrm {V} }$  是定义在 ${\displaystyle K}$  上的巴拿赫空间范数記為${\displaystyle \|v\|}$ ），若向量序列 ${\displaystyle {\{e_{i}\in V\}}_{i\in \mathbb {N} }}$  滿足：

${\displaystyle v=\sum _{i=0}^{\infty }\lambda _{i}\cdot e_{i}}$

### 例子

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx){\bigr )}-f(x){\biggr |}^{2}\,dx=0}$

## 維度

${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\left\{e_{1},\,e_{2},\ldots ,\,e_{N}\right\}}$

## 性质

${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 是向量空间${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的子集。则${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 是基，当且仅当满足了下列任一条件：

• ${\displaystyle \mathrm {V} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 的极小生成集，就是说只有${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 能生成${\displaystyle \mathrm {V} }$ ，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
• ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 中线性无关向量的极大集合，就是说${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 中是线性无关(線性獨立)集合，而且${\displaystyle \mathrm {V} }$ 中没有其他线性无关(線性獨立)集合包含它作为真子集。
• ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 中所有的向量都可以按唯一的方式表达为${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

### 例子

• 考虑所有坐标 (a, b)的向量空间R2，这里的ab都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e1 = (1,0)和e2 = (0,1):假设v = (a, b)是R2中的向量，则v = a (1,0) + b(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成R2的一个基。
• 更一般的说，给定自然数nn个线性无关的向量e1, e2, ..., en可以在实数域上生成Rn。因此，它们也是的一个基而Rn的维度是n。这个基叫做Rn标准基
• V是由函数ete2t生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了V的基。
• R[x]指示所有实数多项式的向量空间；则 (1, x, x2, ...)是R[x]的基。R[x]的维度的因此等于${\displaystyle \aleph _{0}}$ .

## 标准基

${\displaystyle E_{(1)}=(1,0,...,0),E_{(2)}=(0,1,...,0),...,E_{(n)}=(0,0,...,1)}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle =}$ .

## 有序基和坐标

${\displaystyle \mathrm {V} }$ 是在${\displaystyle \mathbb {F} }$ 上的n维向量空间。在${\displaystyle \mathrm {V} }$ 上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的一个选定线性同构${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi :\;\;\mathbb {F} ^{n}\rightarrow \mathrm {V} }$ 是线性同构。可以定义${\displaystyle \mathrm {V} }$ 的一组有序基${\displaystyle \{v_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n}}$ 如下：
${\displaystyle v_{i}=\phi (e_{i}),\;\;\forall i,\;1\leqslant i\leqslant n.}$

φ(x) = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn,

## 参考文献

1. ^ 柯斯特利金.代数学引论（第二版）[M]高等教育出版社:53
2. ^ Lang, Serge. Linear algebra. Berlin: New York: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0-387-96412-6.