基 (線性代數)

(重定向自基底

线性代数中,(英文:basis,又称基底) 是向量空间裡某一群特殊的向量(称为基向量),使得向量空间中的任意向量,都可以唯一地表示成基向量的线性组合(或線性組合的極限)。

R2中标准基的图示。红蓝向量是这个基的元素。
线性代数

向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵

通过基底可以直接地描述向量空间 上定义的线性映射 ,詳請參見线性映射#矩陣一節。

定义

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為了記號表示方便,這裡仿造數列级数定義一個"向量序列的級數":

定義 — 對於向量序列   ,根據集合论数学归纳法,存在一個向量序列   滿足

  •  
  • 對所有的   

  稱為  級數

通常會仿造數列級數而把上面定義的   寫為

 

或更直觀的

 

Hamel基

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Hamel基的定義 —   是定义在  (也就是标量的母空間,如实数系  复数系  )上的向量空间,如果   的子集   满足:

  1.   (也就是零向量不會在   裡)
  2.   ,則存在唯一的一組相異向量   和唯一的一組非零标量   使得  

则稱   是向量空间   的一组Hamel基  裡的元素被稱為基向量 ,若基向量的總數是有限個,  則會被稱為有限基或直接簡稱為

上面的第二個條件,也可以等價地改寫為以下兩條[1]

线性无关(linear independence) 對任意相異的  和任意的  ,若  ,则 
生成律(spanning property) 对任意 ,存在相異向量  和标量   使得  

等價性來自於線性無關:

若有第二組相異   基向量和第二組标量   也滿足   的話,把這住兩組基向量合併,並重新排列,於兩組間重複的記為   ,其他不重複的部分,第一組的記為   ;而第二組的記為   ;然後設   於原來第一組對應的标量係數是   ;原第二組則是對應   。另外   對應的标量係數則為    對應的标量係數則為   ; 這樣把   的第一組線性組合表達式減去第二組會有

 

這樣依據線性無關,就有

 
 
 

這就確保任意   的線性組合表達式都是用同一組的基向量,且其标量係數也是唯一的。

Schauder基

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除了上小節單以線性組合定義的Hamel基,也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基:

Schauder基的定義 —   是定义在   上的巴拿赫空间范数記為 ),若向量序列   滿足:

那向量序列   則被稱為是向量空间   的一组Schauder基

第二項條件通常會簡寫為

對每個   ,都存在唯一組标量 ,使  

甚至寫為

 

例子

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傅立叶级数的研究中,函数 是所有的在区间[0, 2π]上为平方可积分的(实数或复数值)的函数的(实数或复数)向量空间的“正交基”,这种函数 满足

 

函数族 是线性无关的,所有在[0, 2π]上平方可积分的函数是它们的“无限线性组合”,在如下意义上

 

对于适合的(实数或复数)系数ak, bk。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合,因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值,而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。

維度

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如果基中元素个数有限,就称向量空间为有限维向量空间,並将元素的个数称作向量空间的维度[2]。如果原本的基底為:

 

那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質,反過來用基向量序列   來間接代表 

事实上,不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中,如果承认选择公理,就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组,但同一个空间的两组不同的基,它们的元素个数或(当元素个数是无限的时候)会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的;反之,如果向量空间拥有一组基,那么在向量空间中取一组线性无关的向量,一定能得到一组基。特别地,在内积向量空间中,可以定义正交的概念。通过特别的方法,可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基

性质

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 是向量空间 的子集。则 是基,当且仅当满足了下列任一条件:

  •   的极小生成集,就是说只有 能生成 ,而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
  •   中线性无关向量的极大集合,就是说  中是线性无关(線性獨立)集合,而且 中没有其他线性无关(線性獨立)集合包含它作为真子集。
  •  中所有的向量都可以按唯一的方式表达为 中向量的线性组合。如果基是有序的,则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

如果承认良序定理或任何选择公理的等价物,那么作为推论,可以证明任何的向量空间都拥有一组基。(证明:良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基)。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的(元素个数),叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理,它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理

例子

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  • 考虑所有坐标 (a, b)的向量空间R2,这里的ab都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e1 = (1,0)和e2 = (0,1):假设v = (a, b)是R2中的向量,则v = a (1,0) + b(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2),也形成R2的一个基。
  • 更一般的说,给定自然数nn个线性无关的向量e1, e2, ..., en可以在实数域上生成Rn。因此,它们也是的一个基而Rn的维度是n。这个基叫做Rn标准基
  • V是由函数ete2t生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的,所有它们形成了V的基。
  • R[x]指示所有实数多项式的向量空间;则 (1, x, x2, ...)是R[x]的基。R[x]的维度的因此等于 .

标准基

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行向量空间 中有单位行向量

 

那么在该空间中,任意向量 ,都可以唯一表示成 .然后我们可以看出, 可以由它的向量子空间构成

  .

同样的,单位列向量就可以表达为  .

线性无关的单位行向量 生成 . 那么  的基,称这个基为标准基.

基的扩张

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如上所述,一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合,同时也是极小的生成集合。可以证明,如果向量空间拥有一组基,那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基(也称为基的扩充定理),每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地,在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说:如果 是在向量空间 中的一个线性无关集合而集合 是一个包含 而且能够生成 的集合,则存在 的一组基 ,它包含了 而且是 的子集: 

以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度,证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的,而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度(有限维),那么这个集合的元素个数必须等于维数,才可能是它的基。在两者相等时,只需要证明这个集合线性无关,或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基;而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数,需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理,能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集;但假如这个子集是真子集,那么元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数,也就是基的元素个数,这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。

有序基和坐标

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基底是作为向量空间的子集定义的,其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论,通常会将基向量进行排列。比如说将: 写成有序向量组: 。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中,都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下,任意的向量都可以用确定的数组表示,称为向量的坐标。例如,在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标,这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下,有序基可以看作是向量空间的坐标架。

 是在 上的n维向量空间。在 上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间  的一个选定线性同构 

证明:这个证明利用了 的标准基是有序基的事实。

首先假设

 是线性同构。可以定义 的一组有序基 如下:
 

其中的  的标准基。

反过来说,给定一个有序基,考虑如下定义的映射

φ(x) = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn,

这里的x = x1e1 + x2e2 + ... + xnenFn的一个元素。不难检查出φ是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构FnV

确定自有序基{vi}线性映射φ的逆映射为V装备了坐标:如果对于向量vV, φ-1(v) = (a1, a2,...,an) ∈ Fn,则aj = aj(v)的分量是v的坐标,在v = a1(v) v1 + a2(v) v2 + ... + an(v) vn的意义上。

从向量v到分量aj(v)的映射是从VF的线性映射,因为φ-1是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V对偶空间的基,叫做对偶基

参考文献

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  1. ^ 柯斯特利金.代数学引论(第二版)[M]高等教育出版社:53
  2. ^ Lang, Serge. Linear algebra. Berlin: New York: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0-387-96412-6. 

参见

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外部链接

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