初等矩阵

线性代数中,初等矩阵(又稱為基本矩陣[1])是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说,一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。[2]

线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

操作编辑

初等矩阵分为3种类型,分别对应着3种不同的行/列变换。

两行(列)互换:
 
把某行(列)乘以一非零常数:
 其中 
把第 i 行(列)加上第 j 行(列)的 k 倍:
 

初等矩阵即是将上述 3 种初等变换应用于一单位矩阵的结果。以下只讨论对某行的变换,列变换可以类推。

行互换编辑

此变换 Ti j 将单位矩阵的第 i 行的所有元素与第 j 行互换。

 

性质编辑

  • 逆矩阵即自身: 
  • 因为单位矩阵的行列式为1,故  。對所有階數相同的方阵 A 亦有以下性质: 

把某行乘以一非零常数编辑

此变换 Ti(m) 将第 i 行的所有元素乘以一個非零常数 m。

 

性质编辑

  • 逆矩阵为  
  • 此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵
  • 其行列式  ,故對所有階數相同的方阵 A 都有  

把第 i 行加上第 j 行的 m 倍编辑

此变换 Ti j(m) 将第 i 行加上第 j 行的 m 倍,其中 m 为第 i 列第 j 行的元素。

 

性质编辑

  • 逆矩阵具有性质  
  • 此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵
  • 其行列式  ,故對所有階數相同的方阵 A 有  

应用编辑

在解线性方程组中的应用编辑

初等行变换不影响线性方程组的解,也可用于高斯消元法,用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的(故不改变解集),但改变了矩阵的。反过来,初等列变换没有改变像却改变了核。

用于求解一个矩阵的逆矩阵编辑

有的时候,当矩阵的阶数比较高的时候,使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时,通常使用将原矩阵和相同列行数的单位矩阵并排,再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵,这时,右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵[3]

另见编辑

注释编辑

  1. ^ elementary matrix - 基本矩陣. 國家教育研究院. [2014-04-23]. (原始内容存档于2014-09-13). 
  2. ^ 蓝以中. 高等代数简明教程(上册) 第二版. 北京大学出版社. : 123. ISBN 978-7-301-05370-6. 
  3. ^ 戴立辉. 线性代数. 同济大学出版社. ISBN 9787560843063. 

参考编辑

  • Axler, Sheldon Jay, Linear Algebra Done Right 2nd, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0387982590 
  • Lay, David C., Linear Algebra and Its Applications 3rd, Addison Wesley, August 22, 2005, ISBN 978-0321287137 
  • Meyer, Carl D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), February 15, 2001 [2010-07-02], ISBN 978-0898714548, (原始内容存档于2001-03-01) 
  • Poole, David, Linear Algebra: A Modern Introduction 2nd, Brooks/Cole, 2006, ISBN 0-534-99845-3 
  • Anton, Howard, Elementary Linear Algebra (Applications Version) 9th, Wiley International, 2005 
  • Leon, Steven J., Linear Algebra With Applications 7th, Pearson Prentice Hall, 2006