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極限 (數列)

值的序列的條款“傾向於”

極限,即為一個數列,使得,其中為一確定的常數,亦即數列隨著的增加而趨近於

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定義编辑

设一數列 

若对于任意的正实数 ,存在自然数 ,使得對所有 ,有  

用符号来表示即  

则称数列 收敛 ,记作 

收斂數列编辑

其中一個判斷數列是否收斂的定理,称为单调收敛定理,和實數完備性相關:單調有界數列必收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂。

數列極限的性質编辑

定理1(唯一性)若數列 的極限存在,則極限是唯一的。

   證:設數列 有兩個不相等的極限值 ,則對應於 ,並且可找到正數 ,使 時,恆有
    ,
   從而 ,
   這與假設 不符,
   故 不可能以兩個不相等的數為極限。

定理2(有界性)若數列 有極限,則 有界,即 ,使得 ,有 .

   證:因為 ,所以對於  ,使得當 時有 ,
   從而 ,
   令 ,於是 ,有 ,即 有界。

注意有界數列不一定有極限,如數列

 

有界,但無極限。

如數列無界,則數列發散。

定理3(保序性)若  ,且 ,則 ,使得 ,有 .

   證:已知  ,且 。取 ,由極限定義知:
    ,有
                                      ,
   從而
                                      。
    ,有
                                      ,
   從而
                                      。
   所以當 時,有
                                      ,
   即                                 

數列的四則運算编辑

  ,則

(1) 

(2) 

(3)若 ,則 .

參看编辑