極限 (數列)

值的序列的條款“傾向於”

極限,即為一個數列,使得,其中為一確定的常數,亦即數列隨著的增加而趨近於

定義编辑

设一數列 ,若对于任意的正实数 ,存在自然数 ,使得對所有 ,有

 
用符号来表示即
 
则称数列 收敛 ,记作
 

收斂數列编辑

其中一個判斷數列是否收斂的定理,称为单调收敛定理,和實數完備性相關:單調有界數列必收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂。

數列極限的性質编辑

定理1(唯一性)编辑

若數列 的極限存在,則極限是唯一的。[1]:29

证明

設數列

 
有兩個不相等的極限值 ,則對應於 ,並且可找到正數 ,使 時,恆有
 
, 從而
 

這與假設 不符,故 不可能以兩個不相等的數為極限。[1]:29

定理2(有界性)编辑

若數列 有極限,則 有界,即

 
[1]:29-30
證明

因為

 

所以對於  ,使得

 

從而

 
 
於是
 
 有界。

注意有界數列不一定有極限,如數列

 

有界,但無極限。

如數列無界,則數列發散。[1]:30

定理3(保序性)编辑

 

 ,則:30

 
[1]
證明:

已知

 
 

 。取

 
由極限定義知: ,有

 
從而
 

 ,有

 
从而
 
所以當 時,有
 
[1]:30-31
 

數列的四則運算编辑

  ,則

  1.  
  2.  
  3.  ,則 .

参考文献列表编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5. 

參看编辑