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在数学中,有许多定理称为单调收敛定理;这里我们介绍一些主要的例子。

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单调实数序列的收敛性编辑

定理编辑

如果ak是一个单调的实数序列(例如ak ≤ ak+1),则这个序列具有极限(如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话)。这个极限是有限的,当且仅当序列是有界的。

证明编辑

我们证明如果递增序列 有上界,则它是收敛的,且它的极限为 

由于 非空且有上界,因此根据实数的最小上界公理 存在,且是有限的。现在,对于每一个 ,都存在一个 ,使得 ,否则  的一个上界,这与 为最小上界 的事实矛盾。于是,由于 是递增的,对于所有的n > N,都有 ,因此根据定义, 的极限为 。证毕。

类似地,如果一个实数序列是递减且有下界,则它的最大下界就是它的极限。

单调级数的收敛性编辑

定理编辑

如果对于所有的自然数jkaj,k都是非负实数,且aj,k ≤ aj+1,k,则(参见[1]第168页):

 

勒贝格单调收敛定理编辑

这个定理是前一个定理的推广,也许就是最重要的单调收敛定理。

定理编辑

设( X, A,   )为一个测度空间。设  -可测 值单调递增函数。也就是说:

 

接着,设序列 的逐点极限为f。也就是说:

 

那么,f是 -可测的,且(参见[2]第21.38节):

 

证明编辑

我们首先证明f是 -可测函数。为此,只需证明区间[0,t]在f下的原像是X上的σ代数A的一个元素。设I为 的一个子区间。那么:

 

另一方面,由于[0,t]是闭区间,因此:

 

所以:

 

注意可数交集中的每一个集合都是A的一个元素,这是因为它是一个波莱尔子集在 -可测函数 下的原像。由于根据定义,σ代数在可数交集下封闭,因此这便证明了f是 -可测的。需要注意的是,一般来说,任何可测函数的最小上界也是可测的。

现在我们证明单调收敛定理的余下的部分。f是 -可测的事实,意味着表达式 是定义良好的。

我们从证明 开始。

根据勒贝格积分的定义,

 

其中SF是X上的 -可测简单函数的交集。由于在每一个 ,都有 ,我们便有:

 

因此,由于一个子集的最小上界不能大于整个集合的最小上界,我们便有: 

右面的极限存在,因为序列是单调的。

我们现在证明另一个方向的不等式(也可从法图引理推出),也就是说,我们来证明:

 

从积分的定义可以推出,存在一个非负简单函数的非递增序列gn,它几乎处处逐点收敛于f,且:

 

只需证明对于每一个 ,都有:

 

这是因为如果这对每一个k都成立,那么等式左端的极限也将小于或等于等式右端。

我们证明如果gk是简单函数,且

 

几乎处处,则:

 

由于积分是线性的,我们可以把函数 分拆成它的常数部分,化为 是σ代数A的一个元素B的指示函数的情况。在这种情况下,我们假设 是一个可测函数的序列,它在B的每一个点的最小上界都大于或等于一。

为了证明这个结果,固定 ,并定义可测集合的序列:

 

根据积分的单调性,可以推出对于任何的 ,都有:

 

根据 的假设,对于足够大的n,任何B内的x都将位于 内,因此:

 

所以,我们有:

 

利用测度的单调性,可得:

 

 ,并利用这对任何正数 都正确的事实,定理便得证。

参见编辑

注释编辑

  1. ^ J Yeh. Real analysis. Theory of measure and integration. 2006. 
  2. ^ Erik Schechter. 21.38. Analysis and Its Foundations. 1997.