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测度

對一個給定集合的某些子集指定一個數的函數
通俗的说,测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小:空集的测度是0;集合变大时测度至少不会减小(因为要加上变大的部分的测度,而它是非负的)。

数学上,测度英语:measure)是一个函数,它对一个给定集合的某些子集指定一个数,这个数可以比作大小、体积概率等等。传统的积分是在区间上进行的,后来人们希望把积分推广到任意的集合上,就发展出测度的概念,它在数学分析概率论有重要的地位。

测度论实分析的一个分支,研究对象有σ代数、测度、可测函数积分,其重要性在概率论统计学中都有所体现。

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定义编辑

正式的定義為,一个测度 (详细的说法是可列可加的正测度)是个函数。设  的元素是  的子集合,而且是一個 -代數  上定义,于 中取值,并且满足以下性质:

  • 空集合的测度为零:
 
  • 可数可加性,或称 -可加性:若  中可数个两两不相交集合的序列,则所有 聯集的测度,等于每个 的测度之和:
 

这样的三元组 称为一个测度空间,而  中的元素称为这个空间中的可测集合

性质编辑

下面的一些性质可从测度的定义导出:

单调性编辑

测度 单调性: 若  为可测集,而且 ,则 

可数个可测集的并集的测度编辑

 为可测集(不必是两两不交的),则集合 的并集是可测的,且有如下不等式(「次可列可加性」):

 

如果还满足并且对于所有的   ,则如下极限式成立:

 

可数个可测集的交集的测度编辑

 为可测集,并且对于所有的   ,则 交集是可测的。进一步说,如果至少一个 的测度有限,则有极限:

 

如若不假设至少一个 的测度有限,则上述性质一般不成立。例如对于每一个 ,令

 

这裡,全部集合都具有无限测度,但它们的交集是空集。

-有限测度编辑

如果 是一个有限实数(而不是 ),则测度空间 称为有限测度空间。非零的有限测度与概率测度类似,因为可以通过乘上比例因子 进行归一化。如果 可以表示为可数个可测集的并集,而且这些可测集的测度均有限,则该测度空间称为 -有限测度空间。如果测度空间中的一个集合 可以表示为可数个可测集的并集,而且这些可测集的测度均有限,就称 具有 -有限测度

作为例子,实数集赋以标准勒贝格测度 -有限的,但不是有限的。为说明之,只要考虑闭区间[k, k+1],k取遍所有的整数;这样的区间共有可数多个,每一个的测度为1,而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子,取实数集上的计数测度,即对实数集的每个有限子集,都把元素个数作为它的测度,至于无限子集的测度则令为 。这样的测度空间就不是 -有限的,因为任何有限测度集只含有有限个点,从而,覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。 -有限的测度空间有些很好的性质;从这点上说, -有限性可以类比于拓扑空间可分性

完备性编辑

对于一个可测集 ,若 成立,则称为零测集,其子集称为可去集

一个可去集未必是可测的,但零测集一定是可去集。

如果所有的可去集都可测,则称该测度为完备测度

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度:

考虑 的所有与某个可测集 仅差一个可去集的子集 ,可得到  对称差包含于一个零测集中。

由这些子集 生成的σ代数,并定义 ,所得到的测度即为完备测度。

例子编辑

下列是一些测度的例子(顺序与重要性无关)。

  • 计数测度 定义为 的「元素个数」。
  • 一维勒贝格测度是定义在 的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足 的唯一测度。
  • Circular angle测度旋转不变的。
  • 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广,而且也有类似的刻划。
  • 恆零测度定义为 ,对任意的 
  • 每一个概率空间都有一个测度,它对全空间取值为1(于是其值全部落到单位区间[0,1]中)。这就是所谓概率测度。见概率论公理

其它例子,包括:狄拉克测度波莱尔测度若尔当测度遍历测度欧拉测度高斯测度贝尔测度拉东测度

相关条目编辑

参考文献编辑

  • R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
  • D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
  • Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
  • M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

外部链接编辑